Cho a+b+c=2028 và\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{1}{3}\)
Tính giá trị nhỏ nhất của : \(Q=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
11 tháng 2 2018
Ta có: \(Q+3=\left(1+\frac{a}{b+c}\right)+\left(1+\frac{b}{b+c}\right)+\left(1+\frac{c}{a+b}\right)\)
\(Q+3=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(Q+3=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(Q+3=2028\cdot\frac{1}{3}=676\)
=> Q = 676 - 3 = 673
16 tháng 7 2016
2) Ta có : \(\left|x-1\right|+\left|1-x\right|=2\) (1)
Xét 3 trường hợp :
1. Với \(x>1\) , phương trình (1) trở thành : \(x-1+x-1=2\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\) (thoả mãn)
2. Với \(x< 1\), phương trình (1) trở thành : \(1-x+1-x=2\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\)(thoả mãn)
3. Với x = 1 , phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{0;2\right\}\)
16 tháng 7 2016
1) Cách 1:
Ta có ; \(A=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy :\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\) ;\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\) ; \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow A\ge1+2+2+2=9\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\\\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy Min A = 9 <=> a = b = c
Cách 2 : Sử dụng bđt Bunhiacopxki : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)
VT
22 tháng 9 2017
a) ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)
tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)
=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)
mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)
cộng từng vế ta có \(S\ge9\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2
câu 2 tương tự
VT
22 tháng 9 2017
chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin
XO
25 tháng 4 2021
Ta có S + 4 = \(\left(\frac{a}{b+c+d}+1\right)+\left(\frac{b}{c+d+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b+d}+1\right)+\left(\frac{d}{a+b+c}+1\right)\)
\(=\frac{a+b+c+d}{b+c+d}+\frac{a+b+c+d}{a+c+d}+\frac{a+b+c+d}{a+b+d}+\frac{a+b+c+d}{b+c+d}\)
\(=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)\)
\(=4000.\frac{1}{40}=100\)(a + b + c + d = 4000 ; \(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{40}\))
=> S = 100 - 4 = 96
Ta có:\(\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\left(a+b+c\right)=\frac{1}{3}.2028\)
=>\(\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{c}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{b+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{c+a}{c+a}+\frac{b}{c+a}\right)=676\)
=>\(\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+3=676\)
=>\(Q=673\)
Vậy Q=673
dự đoán của chúa Pain
a=b=c=\(\frac{2028}{3}\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\left(cosi\right).\)
\(Q\ge\frac{\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(Q\ge\frac{1}{2}+\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{\left(a+b+c\right)}\)
có
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{a^2b^2c^2}}=3\sqrt[3]{abc}\)
có
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay vào ta được
\(Q\ge\frac{1}{2}+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{3\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2028}{3}=676\)
thử thay vào ta được
\(Q=\frac{676}{2\left(676\right)}+\frac{676}{2\left(676\right)}+\frac{676}{2\left(676\right)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\) ( đúng )