Cho \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{cases}}\)
CMR: \(x+y^2+z^3=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 7 2017
Sửa đề \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{cases}}\)
Ta có; \(\left(x+y+z\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
Ta lại có:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz=1\)
\(\Leftrightarrow3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\\z=0\end{cases}}\)
Với \(x=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\z=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y=1\\z=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x+y^2+z^3=1\)
Tương tự cho các trường hợp còn lại.
Có : 1 = (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2.(xy+yz+zx)
Mà x^2+y^2+z^2 = 1 => 2.(xy+yz+zx) = 0 <=> xy+yz+zx = 0 <=> (xy+yz+zx).(x+y+z) = 0
Lại có : 1 = (x+y+z)^3 = x^3+y^3+z^3+6xyz+3.(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2)
Mà x^3+y^3+z^3 = 1 => 6xyz+3.(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2) = 0
<=> 0 = 6xyz+3.[xy.(x+y)+yz.(y+z)+zx.(z+x)] = 6xyz+3.[xy.(1-z)+yz.(1-x)+zx.(1-y)] = 6xyz+3.(xy+yz+zx-3xyz)
= 6xyz+3.(0-3xyz) = 6xyz-9xyz
<=> -3xyz = 0
<=> xyz = 0
<=> xyz=(xy+yz+zx).(x+y+z)
<=> (xy+yz+zx).(x+y+z)-xyz = 0
<=> x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+2xyz = 0
<=> (x+y).(y+z).(z+x) = 0
<=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0
<=> x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x
Đến đó bạn xét từng trường hợp mà cm nha