Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3, ta có: góc MFA = \(\frac{1}{2}\).(sđ cung AM + sđ cung BQ) (góc có đỉnh nằm trong đường tròn )
và góc MPQ = \(\frac{1}{2}\).sđ cung MQ = \(\frac{1}{2}\).. (sđ cung MB + sđ cung BQ ) (góc nội tiếp)
mà sđ cung AM = sđ cung MB (do M là điểm chính giữa cung AB )
=> góc MFA = góc MPQ
=> góc ngoài MFA tại hai đỉnh có hai góc đối nhau bằng nhau thì tứ giác EFQP là tứ giác nội tiếp hay E,F,P,Q cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)
* Bổ đề 1: Xét tam giác ABC có trực tâm H, tâm ngoại tiếp O và đường tròn Euler \(\left(\omega\right)\). Một đường thẳng \(\Delta\)đi qua H và cắt \(\left(\omega\right)\);(O) lần lượt tại I,K. Khi đó I là trung điểm của HK. (Các bạn tự chứng minh)
* Bổ đề 2: Xét tam giác ABC cân tại A. Điểm M thỏa mãn ^AMB = ^AMC. Khi đó AM là trung trực của BC.
* Giải bài toán: Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với HT, đường thẳng này cắt (O) tại K' khác A.
Gọi M là trung điểm BC, HT cắt đường tròn (MEF) và (O) lần lượt tại G và L (G thuộc cung FM nhỏ)
Do (MEF) là đường tròn Euler-9 điểm của \(\Delta\)ABC nên áp dụng Bổ đề 1 ta thu được GH = GL
Đồng thời, kết hợp với ĐL Reim ta cũng suy ra tứ giác GFTC nội tiếp
Từ đây ^CGH = ^HFE = ^CBH. Suy ra ^BCG = ^BHG = ^THE = ^CAK' = ^CBK' và ^BGC = ^CK'B (= 1800 - ^BAC)
Suy ra tứ giác CK'BG là hình bình hành. Từ đó GK',BC,HN cùng đi qua điểm M
Do vậy tứ giác GLNK' là hình bình hành (Vì GH = GL và cùng song song với NK')
Dẫn đến K'G = NL = K'T, suy ra AG = AT = AS (Vì AK' là trung trực của GT)
Ta thấy \(\Delta\)ASG cân tại A (cmt); ^ALS = ^ALG (Vì (AS = (AT ). Theo Bổ đề 2 thì AL vuông góc SG (1)
Ta lại có AL vuông góc LN; LN // GK' nên AL vuông góc GK' (2)
Từ (1) và (2) suy ra hai đường thẳng SG, GK' trùng nhau hay SM đi qua K'
Như vậy K' trùng K, đồng nghĩa với việc AK vuông góc với HT (đpcm).
b, Vì DF//AB nên \(\widehat{DHC}=\widehat{BAC}\)(đồng vị)
mà \(\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{DOC}\)(góc nội tiếp và góc ở tâm)
\(\Rightarrow\widehat{DOC}=\widehat{DHC}\)hay tứ giác DOHC nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DHO}=\widehat{DCO}=90^0\)\(\Rightarrow OH\perp DF\)
câu c tí nữa làm :P
c, Từ a, b => 5 điểm B,O,H,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính OD
Vì tứ giác BHCD nội tiếp \(\Rightarrow ID.IH=IB.IC\)
Vì tứ giác BECF nội tiếp \(\Rightarrow IE.IF=IB.IC\)
\(\Rightarrow ID.IH=IE.IF\)
