Cho \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)(với a,b,c \(\ne\)0, b \(\ne\)c) . Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 5 2018
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\) hả Lặng Thầm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2022
1.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{a}{2a+a+b+c}=\dfrac{a}{25}.\dfrac{\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\dfrac{a}{25}\left(\dfrac{2^2}{2a}+\dfrac{3^2}{a+b+c}\right)=\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a}{a+b+c}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{3b+a+c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b+3c}\le\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{c}{a+b+c}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{6}{25}+\dfrac{9}{25}.\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2022
2.
Đặt \(\dfrac{x}{x-1}=a;\dfrac{y}{y-1}=b;\dfrac{z}{z-1}=c\)
Ta có: \(\dfrac{x}{x-1}=a\Rightarrow x=ax-a\Rightarrow a=x\left(a-1\right)\Rightarrow x=\dfrac{a}{a-1}\)
Tương tự ta có: \(y=\dfrac{b}{b-1}\) ; \(z=\dfrac{c}{c-1}\)
Biến đổi giả thiết:
\(xyz=1\Rightarrow\dfrac{abc}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=1\)
\(\Rightarrow abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=a+b+c-1\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(a^2+b^2+c^2\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(a+b+c-1\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
11 tháng 7 2021
Ta có: \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-2\left(\dfrac{c}{abc}+\dfrac{b}{abc}+\dfrac{a}{abc}\right)}\)
\(=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-2\cdot\dfrac{a+b+c}{abc}}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2018
ĐK: \(x\ne b;x\ne c\)
Phương trình tương đương:
\(\dfrac{2}{b-x}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{c-x}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\)
TH1: Nếu \(a=b\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\Rightarrow\) pt tương đương \(0=0\) \(\Rightarrow\) đúng với mọi x
TH2: nếu \(a\ne b\), chia cả 2 vế cho \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\) ta được:
\(\dfrac{2}{b-x}=\dfrac{1}{c-x}\Leftrightarrow2c-2x=b-x\Leftrightarrow x=2c-b\)
14 tháng 4 2017
Giải:
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a-c}{b-d}\) ( tính chất dãy tỉ số bằng nhau )
\(\Rightarrow k^2=\left(\dfrac{a-c}{b-d}\right)^2=\dfrac{\left(a-c\right)^2}{\left(b-d\right)^2}\) (1)
và \(k^2=\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\dfrac{\left(a-c\right)^2}{\left(b-d\right)^2}=\dfrac{ab}{cd}\left(đpcm\right)\)
Vậy...
14 tháng 4 2017
Đề sai rồi bạn ạ
Phải là : Cho\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) với c≠±1. Chứng minh rằng \(\dfrac{\left(a-c\right)^2}{\left(b-d\right)^2}=\dfrac{ac}{bd}\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)Suy ra: \(\dfrac{\left(a-c\right)^2}{\left(b-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-dk\right)^2}{\left(b-d\right)^2}=\dfrac{\left[k\left(b-d\right)\right]^2}{\left(b-d\right)^2}\)=k2 (1)
\(\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk.dk}{bd}=\dfrac{k^2.bd}{bd}=k^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{\left(a-c\right)^2}{\left(b-d\right)^2}=\dfrac{ac}{bd}\)
3 tháng 6 2022
2: \(A=9^n\cdot81-9^n+3^n\cdot9+3^n\)
\(=9^n\cdot80+3^n\cdot10\)
\(=10\left(9^n\cdot8+3^n\right)⋮10\)
8 tháng 9 2017
Ta có: \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)
\(=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}\)
Ta cần chứng minh: \(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=0\) thật vậy:
\(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{abc}=\dfrac{2.0}{abc}=0\)Tức là:\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\left(đpcm\right)\)
\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\frac{1}{c}:\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\frac{2}{c}=\frac{a+b}{ab}\)
\(\Rightarrow2ab=ac+bc\)
\(\Rightarrow ac-ab=ab-bc\)
\(\Rightarrow a.\left(c-b\right)=b.\left(a-c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)( đpcm )
Võ Nguyễn Thương Thương