Cho a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\).
Chứng minh rằng \(abc+2\left(1+a+b+c+ab+bc+ca\right)\ge0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
19 tháng 10 2023
Ta có VP:
\(\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\)
Thay \(1=ab+bc+ca\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left(ab+bc+ca+a^2\right)\left(ab+bc+ca+b^2\right)\left(ab+bc+ca+c^2\right)}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left[b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)\right]\left[a\left(b+c\right)+b\left(b+c\right)\right]\left[b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)\right]}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\dfrac{2}{\sqrt{\left[\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\right]^2}}\)
\(=\dfrac{2}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
_____________
Ta có VT:
\(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\)
Thay \(1=ab+ac+bc\)
\(=\dfrac{a}{ab+ac+bc+a^2}+\dfrac{b}{ab+ac+bc+b^2}+\dfrac{c}{ab+ac+bc+c^2}\)
\(=\dfrac{a}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}+\dfrac{b}{b\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{b\left(a+c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{ab+ac+ab+bc+ac+bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{2ab+2ac+2bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{2\cdot\left(ab+ac+bc\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(=\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\left(ab+ac+bc=1\right)\)
Mà: \(VP=VT=\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}}\left(dpcm\right)\)
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2021
Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng:
\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.
Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.
2 tháng 6 2020
BĐT tương đương : \(\frac{a\left(a+c+b-3b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a+c-3c\right)}{a+bc}+\frac{c\left(c+b+a-3a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{3b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{3c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+1+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+1+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\ge3\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}\cdot\frac{b+1}{1+bc}\cdot\frac{c+1}{1+ca}}\)
Ta phải chứng minh: \(\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}\cdot\frac{b+1}{1+bc}\cdot\frac{c+1}{1+ca}}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)\)
Thật vậy \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\ge a^2b^2c^2+abc\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca+1\)
\(\Leftrightarrow3\ge a^2b^2c^2+2abc\) (*)
Từ a+b+c=3 => \(3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\le1\)
=> (*) đúng
Vậy \(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ca}\ge0\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
đay nha
KN
12 tháng 6 2020
Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:
\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
26 tháng 2 2021
Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:
\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)
Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).
Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2023
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=2\)
Áp dụng BĐT C-S:
\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3-\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+4}{3-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=x\)
Ta cần c/m: \(\dfrac{x+4}{3-x}\ge6\Leftrightarrow x+4\ge18-6x\)
\(\Leftrightarrow x\ge2\) (đúng)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
TN
25 tháng 6 2017
ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng
26 tháng 6 2017
Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.