Với giá trị nào của góc nhọn \(\alpha\)thì biểu thức P = \(3\sin\alpha+\sqrt{3}\cos\alpha\)có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023
Ta có: \(A = 2{\sin ^2}\alpha + 5{\cos ^2}\alpha = 2({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha ) + 3{\cos ^2}\alpha \)
Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1;\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
\( \Rightarrow A = 2 + 3.{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2 + 3.\frac{1}{2} = \frac{7}{2}.\)
27 tháng 8 2021
a/ \(A=\frac{cot^2a-cos^2a}{cot^2a}-\frac{sina.cosa}{cota}\)
\(=\frac{\frac{cos^2a}{sin^2a}-cos^2a}{\frac{cos^2a}{sin^2a}}-\frac{sina.cosa}{\frac{cosa}{sina}}\)
\(=\left(1-sin^2a\right)-sin^2a=1\)
27 tháng 8 2021
b/ \(B=\left(cosa-sina\right)^2+\left(cosa+sina\right)^2+cos^4a-sin^4a-2cos^2a\)
\(=cos^2a-2cosa.sina+sin^2a+cos^2a+2cosa.sina+sin^2a+\left(cos^2a+sin^2a\right)\left(cos^2a-sin^2a\right)-2cos^2a\)
\(=2+\left(cos^2a-sin^2a\right)-2cos^2a\)
\(=2-sin^2a-cos^2a=2-1=1\)
Y
24 tháng 9 2023
\(P=\dfrac{2sin\alpha-3cos\alpha}{3sin\alpha+2cos\alpha}\\ =\dfrac{\dfrac{2sin\alpha}{cos\alpha}-\dfrac{3cos\alpha}{cos\alpha}}{\dfrac{3sin\alpha}{cos\alpha}+\dfrac{2cos\alpha}{cos\alpha}}\\ =\dfrac{2tan\alpha-3}{3tan\alpha+2}=\dfrac{2.3-3}{3.3+2}=\dfrac{3}{11}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha \ne {90^o})\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {3^2} = 10\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)
Vì \({0^o} < \alpha < {180^o}\) nên \(\sin \alpha > 0\).
Mà \(\tan \alpha = 3 > 0 \Rightarrow \cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)
Lại có: \(\sin \alpha = \cos \alpha .\tan \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.3 = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}.\)
\( \Rightarrow P = \dfrac{{2.\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} - 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}}{{3.\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} + 2.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}} = \dfrac{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\left( {2.3 - 3} \right)}}{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\left( {3.3 + 2} \right)}} = \dfrac{3}{{11}}.\)
23 tháng 9 2018
Ta có:
\(sin^2a+cos^2a=1\Leftrightarrow sin^2a+\left(\frac{1}{3}\right)^2=1\Leftrightarrow sin^2a=\frac{8}{9}\Rightarrow sina=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\)
\(B=\frac{sin\alpha-3cosa}{sina+2cosa}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}-3.\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}+2.\frac{1}{3}}=\frac{7-5\sqrt{2}}{2}\)
26 tháng 7 2017
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}3sina+cosa=2\\sin^2a+cos^2a=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}cosa=2-3sina\left(1\right)\\sin^2a+\left(2-3sina\right)^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow10sin^2a-12sina+3=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}sina=\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{6}}{10}\\sina=\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{6}}{10}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}cosa=\frac{1}{5}-\frac{3.\sqrt{6}}{10}\left(l\right)\\cosa=\frac{1}{5}+\frac{3.\sqrt{6}}{10}\end{cases}}\)
Thế vô tính tiếp
AT
30 tháng 7 2021
\(\left(\sqrt{\dfrac{1+sin\alpha}{1-sin\alpha}}+\sqrt{\dfrac{1-sin\alpha}{1+sin\alpha}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{1+tan^2\alpha}}\)
\(=\left(\sqrt{\dfrac{\left(1+sin\alpha\right)^2}{\left(1-sin\alpha\right)\left(1+sin\alpha\right)}}+\sqrt{\dfrac{\left(1-sin\alpha\right)^2}{\left(1+sin\alpha\right)\left(1-sin\alpha\right)}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\right)^2}}\)
\(=\left(\sqrt{\dfrac{\left(1+sin\alpha\right)^2}{1-sin^2\alpha}}+\sqrt{\dfrac{\left(1-sin\alpha\right)^2}{1-sin^2\alpha}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}}\)
\(=\left(\sqrt{\dfrac{\left(1+sin\alpha\right)^2}{cos^2\alpha}}+\sqrt{\dfrac{\left(1-sin\alpha\right)^2}{cos^2\alpha}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{cos^2\alpha}}}\)
\(=\left(\dfrac{1+sin\alpha}{cos\alpha}+\dfrac{1-sin\alpha}{cos\alpha}\right).\dfrac{1}{\dfrac{1}{cos\alpha}}=\dfrac{2}{cos\alpha}.cos\alpha=2\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
Ta có:
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{1}{2} = \frac{{ - \sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}\)
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = - \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\)
c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\)
d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{6}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2022
\(\dfrac{2sina+cosa}{2sin^3a-cos^3a}=\dfrac{\dfrac{2sina}{cos^3a}+\dfrac{cosa}{cos^3a}}{\dfrac{2sin^3a}{cos^3a}-\dfrac{cos^3a}{cos^3a}}=\dfrac{2tana.\dfrac{1}{cos^2a}+\dfrac{1}{cos^2a}}{2tan^3a-1}\)
\(=\dfrac{2tana\left(1+tan^2a\right)+1+tan^2a}{2tan^3a-1}=...\) (thay số và bấm máy)
27 tháng 3 2022
Em vẫn ch hiểu tại sao cosa/cos3a lại ra 1/cos2a thầy giải thích giúp em vs ạ
\(=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}sina+cosa\right)\)
\(=\sqrt{3}\cdot2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}sina+\frac{1}{2}cosa\right)\)
\(=2\sqrt{3}\left(cos30sina+sin30cosa\right)\)
\(=2\sqrt{3}sin\left(a+30\right)\)
Ta có \(-1\le sin\left(a+30\right)\le1\)
\(-2\sqrt{3}\le2\sqrt{3}sin\left(a+30\right)\le2\sqrt{3}\)
P đạt GTLN
\(\Leftrightarrow2\sqrt{3}sin\left(a+30\right)=2\sqrt{3}\)
\(sin\left(a+30\right)=1\)
\(a+30=90+k360\) ( vì a góc nhọn nên bỏ k 360 độ đi )
\(a+30=90\)
\(a=60\)
Vậy P dạt GTLN là \(2\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow a=60\)