Cho abc khác 0 và \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\) . Tính P= \(\left(1+\frac{b}{a}\right).\left(1+\frac{c}{b}\right).\left(1+\frac{a}{c}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 3 2019
TH1: Nếu a+b+c \(\ne0\)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}=1\)
mà \(\frac{a+b-c}{c}+1=\frac{b+c-a}{a}+1=\frac{c+a-b}{b}+1=2\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=2\)
Vậy \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{a}\right)\left(\frac{a+c}{c}\right)\left(\frac{b+c}{b}\right)=8\)
TH2 : Nếu a+b+c = 0
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{a+b+c}=0\)
mà \(\frac{a+b-c}{c}+1=\frac{b+c-a}{a}+1=\frac{c+a-b}{b}+1=1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=1\)
vậy \(B=\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(\frac{a+b}{a}\right)\left(\frac{a+c}{c}\right)\left(\frac{b+c}{b}\right)=1\)
28 tháng 3 2019
\(\frac{a+b-c}{c}+2=\frac{b+c-a}{a}+2=\frac{c+a-b}{b}+2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{a}\)
TH1: a+b+c=0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\Rightarrow B=\left(1-\frac{a+c}{a}\right).\left(1-\frac{b+c}{c}\right).\left(1-\frac{a+b}{b}\right)=-1\)
TH2: a+b+c khác 0
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow B=\left(1+\frac{a}{a}\right).\left(1+\frac{a}{a}\right).\left(1+\frac{a}{a}\right)=2^3=8\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}=\frac{c^2}{c^2(a+b)}+\frac{a^2}{a^2(b+c)}+\frac{b^2}{b^2(c+a)}+\frac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2abc}\)
\(\geq \frac{(c+a+b+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}=\frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
LV
4 tháng 8 2017
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
cauchy-schwarz:
\(VT=\frac{c^2}{ac^2+bc^2}+\frac{a^2}{a^2b+a^2c}+\frac{b^2}{b^2c+b^2a}+\frac{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2abc}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
8 tháng 11 2015
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}\) => \(\frac{a+b}{c}-1=\frac{a+c}{b}-1=\frac{b+c}{a}-1\)
=> \(\frac{a+b}{c}=\frac{a+c}{b}=\frac{b+c}{a}=\frac{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}{c+b+a}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
M = \(\frac{a+b}{c}.\frac{b+c}{a}.\frac{c+a}{b}\) = 2.2.2 = 8
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\Rightarrow ab+bc+ac=1\)
Khi đó:
\(1+a^2=ab+bc+ac+a^2=(ab+a^2)+(bc+ac)=(a+b)(a+c)\)
\(1+b^2=ab+bc+ac+b^2=(ab+b^2)+(bc+ac)=(b+a)(b+c)\)
\(1+c^2=ab+bc+ac+c^2=(ab+bc)+(ac+c^2)=(c+a)(c+b)\)
\(\Rightarrow (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(a+b)(a+c)(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)\)
\(=[(a+b)(b+c)(c+a)]^2\) là số chính phương với mọi $a,b,c$ nguyên khác không.
Ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{c}+1=\frac{b+c}{a}-1=\frac{c+a}{b}-1\)
\(\Rightarrow\frac{a+b-2c}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-2=\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> a+b-c/c = 1 => a+b-c = c => a+b = 2c
b+c-a/a = 1 => b+c-a = a => b+c = 2a
c+a-b/b = 1 => c+a-b = b => c+a = 2b
=> P = \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\cdot\left(1+\frac{c}{b}\right)\cdot\left(1+\frac{a}{c}\right)=\frac{a+b}{a}\cdot\frac{b+c}{b}\cdot\frac{c+a}{c}=\frac{2c}{a}\cdot\frac{2a}{b}\cdot\frac{2b}{c}=\frac{2c.2a.2b}{abc}=\frac{8abc}{abc}=8\)