Cho a , b , c thỏa mãn: 0 < a , b , c < 1.
CMR: Có ít nhất 1 trong các BĐT sau:
a (1 - b) > 1/4 ; b (1 - c) > 1/4 ; c (1 - a) > 1/4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MA
30 tháng 11 2017
Giả sử cả ba BĐT đều đúng, khi đó a(1−b)b(1−c)c(1−a)>164a(1−b)b(1−c)c(1−a)>164
Nhưng theo BĐT CauChy thì a(1−a)≤(a+1−a2)2=14a(1−a)≤(a+1−a2)2=14, tương tự ta có
a(1−b)b(1−c)c(1−a)≤164a(1−b)b(1−c)c(1−a)≤164, mâu thuẩn
30 tháng 11 2017
Giả sử a(1-b),b(1-c),c(1-a)>1/4
=> a(1-b).b(1-c).c(1-a)>(1/4)3
=> a(1-a).b(1-b).c(1-c)>(1/4)^3
Ta có a(1-a)=1/4-(1/2-a)2<1/4
CMTT b(1-b), c(1-c) <1/4
=> a(1-b).b(1-c).c(1-a)<(1/4)3 trái với giả sử
=> 1 trong các BĐT sai
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021
Sửa lại đề: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}$.
--------------
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} a+b+c=2021\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2021}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{c(a+b+c)+ab}{abc(a+b+c)}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0\)
$\Leftrightarrow (2021-c)(2021-a)(2021-b)=0$
Do đó ít nhất 1 trong 3 số $a,b,c$ có 1 số có giá trị bằng $2021$
16 tháng 7 2017
Từ giả thiết ta suy ra \(\hept{\begin{cases}abc-ab-bc-ac=0\\a+b+c-1=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(abc-ab-bc-ac\right)+\left(a+b+c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)-\left(ac-a\right)-\left(bc-b\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\) Ít nhất một trong các số a;b;c phải bằng 1 (đpcm)
VK
5
VK
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 1 2017
Lời giải:
Từ điều kiện đề bài ta có:
\(\frac{c-1}{c}=1-\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1-c}{ab}\) \(\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (c-1)\left(\frac{1}{1-a-b}+\frac{1}{ab}\right)=\frac{(a-1)(b-1)(c-1)}{abc}=0\)
Do đó tồn tại ít nhất một trong các số đã cho có giá trị bằng $1$
4 tháng 5 2018
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Lại có: \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a^2+b+c\right)}{3}\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3abc\)
giả sử a(1-b),b(1-c),c(1-a) >1/4
=> a(1-a)b(b-1)c(c-1)>1/4^3
ma a(1-a)=a-a^2=1/4- (a-1/2)^2<=1/4
tuong tu....
=> a(1-a)b(b-1)c(c-1)=<1/4^3(trai voi gia su)
Vay trong 3 h a(1-b),b(1-c),c(1-a) co it nhat 1 so < 1/4
Ta có 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ac)/abc = ab + bc + ca
=> a + b + c = ab + bc + ca
<=> a + b + c - ab - bc - ca = 0
<=> a + b + c - ab - bc - ac + abc - 1 = 0
<=> (a - ab) + (b - 1) + (c - bc) + (abc - ac) = 0
<=> -a(b - 1) + (b - 1) - c(b - 1) + ac(b - 1) = 0
<=> (b - 1)(-a + 1 -c + ac) = 0
<=> (b - 1)[ (-a + 1) + (ac - c) ] = 0
<=> (b - 1)[ -(a - 1) + c(a - 1) ] = 0
<=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
<=> a - 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 hoặc c - 1 = 0
<=> a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1