Question

[Trần Tất Tuấn]

tìm tất cả số tự nhiên n , biết : n +S(n)=2014,trong đó S(n) là tổng các chữ số của n

Answer 1

[Lê Song Phương]

Gọi \(k\) là số chữ số của \(n\). Khi đó đặt 

\(n=\overline{a_0a_1a_2...a_{k-1}}=10^{k-1}a_0+10^{k-2}a_1+...+10^1a_{k-2}+10^0a_{k-1}\) và \(a_0\ne0\)

Có \(n+S\left(n\right)=2014\)

\(\Rightarrow\left(10^{k-1}+1\right)a_0+\left(10^{k-2}+1\right)a_1+...+\left(10^1+1\right)a_{k-2}+\left(10^0+1\right)a_{k-1}=2014\) (1)

Khi đó vì \(a_i\ge0\) với mọi \(i=1,2,...,k-1\) và \(a_0\ge1\) nên từ (1) có:

\(10^{k-1}+1\le2014\Leftrightarrow k\le4\)    (2)

Mặt khác \(a_j\le9\) với mọi \(j=0,1,2,...,k-1\) nên 

\(9\left(10^{k-1}+1+10^{k-2}+1+...+10^0+1\right)\ge2014\)

\(\Leftrightarrow10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^0+k\ge224\)    (3)

Đặt \(S=10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^0\)

\(\Rightarrow10S=10^k+10^{k-1}+...+10^1\)

\(\Rightarrow10S-S=9S=10^k-1\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{10^k-1}{9}\)

Như vậy, từ (3) ta có \(\dfrac{10^k-1}{9}+k\ge224\)

\(\Rightarrow k\ge4\)    (4)

Từ (2) và (4) ta có \(k=4\), hay \(n\) có 4 chữ số

Khi đó gọi \(n=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\)

\(\Rightarrow n+S\left(n\right)=1001a+101b+11c+2d=2014\)

\(\Rightarrow1001a< 2014\Rightarrow a\le2\)

Xét \(a=2\) thì ta có \(101b+11c+2d=12\), vô lý.

Với \(a=1\), ta có \(1\le S\left(n\right)\le36\Rightarrow1978\le n=2014-S\left(n\right)\le2013\)

\(\Rightarrow1978\le n\le1999\)

Do đó \(a=1,b=9,c\in\left\{7,8,9\right\}\)

\(\Rightarrow n+S\left(n\right)=1001+909+11c+2d=2014\Leftrightarrow11c+2d=104\)

Vì 112 và \(2d\) đều là số chẵn nên \(c\) chẵn \(\Rightarrow c=8\)

\(\Rightarrow d=8\)

Vậy \(n=1988\) là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn ycbt.

Answer 2

[Trần Tất Tuấn]

hiểu chết liền ☹