Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O đường cao AD,BE,CF cắt đường tròn theo thứ tự ở M , N , K . CMR : AM/AD + BN/BE + CK/CF =4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NF
1 tháng 1 2019
Câu hỏi của toán khó mới hay - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
1 tháng 1 2019
Ta có SABC=\(\dfrac{AD.BC}{2}\)
Tứ giác ABMC có AM⊥BC⇒SABMC=\(\dfrac{AM.BC}{2}\)
Suy ra \(\dfrac{S_{ABMC}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AD}\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{S_{ABCN}}{S_{ABC}}=\dfrac{BN}{BE}\)
\(\dfrac{S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{CK}{CF}\)
Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{S_{ABMC}+S_{ABCN}+S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}+S_{BMC}+S_{ABC}+S_{ANC}+S_{ABC}+S_{ABK}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}\)(1)
Gọi H là giao điểm của AD,BE,CF ta có
\(\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\)(cùng chắn cung MC)=\(\widehat{EAH}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}\)
Lại có BD là cạnh chung
\(\widehat{BDH}=\widehat{BDM}=90^0\)
Suy ra △BHD=△BMD(cạnh huyền, góc nhọn)\(\Rightarrow HD=MD\Rightarrow S_{BMC}=\dfrac{MD.BC}{2}=\dfrac{HD.BC}{2}=S_{BHC}\)
Chứng minh tương tự: \(S_{ANC}=S_{AHC}\)
\(S_{AKB}=S_{AHB}\)
Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=3+\dfrac{S_{BMC}+S_{AKB}+S_{ANC}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{BHC}+S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=3+1=4\)
Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 2 2022
Hai góc này không bằng nhau thì chứng minh làm sao được em?
Em thử sử dụng tính năng đo góc của geogebra là biết.
DT
4 tháng 2 2022
ta có: \(MC^2=MI.MA\)
\(\Rightarrow MD^2=MI.MA\) ( do tam giác MCD cân tại M)
\(\Rightarrow\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{ MI}{MD}\)
Xét tam giác MDI và tam giác MAD có :
\(\left\{{}\begin{matrix}DMAgócchung\\\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MI}{MD}\end{matrix}\right.\)
=> tam giác MDI đồng dạng tam giác MAD ( g -c)
=> góc MDI = góc MAD (1)
tứ giác DNIC nội tiếp => góc MDI = góc MCI (2)
từ 1 và 2 suy ra :góc NCI = góc HAD
mà góc MAD = góc KCI
=> góc NCI = góc KCI
vậy 3 điểm C ; K ; N thẳng hàng ( đpcm)
a) Ta thấy \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) )
Vậy nên \(\widebat{KB}=\widebat{MB}\), suy ra \(\widehat{KCB}=\widehat{MCB}\) (Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Gọi giao điểm của ba đường cao là H.
Xét tam giác MHC có CD là đường cao đồng thời là phân giác nên tam giác MHC cân tại C.
Vậy thì CD cũng là trung tuyến hay DM = DH.
Ta có \(\frac{AM}{AD}=\frac{AD+DM}{AD}=1+\frac{DM}{AD}=1+\frac{DH}{AD}\)
Tương tự \(\frac{BN}{BE}=1+\frac{HE}{BE};\frac{CK}{CF}=1+\frac{FH}{CF}\)
Ta có \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\)
Lại thấy rằng \(\frac{DH}{AD}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}};\frac{HE}{BE}=\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}};\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\)
nên \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Vậy thì \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+1=4\)
Bạn vẽ hình đi mình làm cho