Question

[Lê An]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a√3. Tam giác SAB cân tại S có SA =a√3. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, SD. Biết (SAB) vuông góc (ABCD). Tính góc giữa hai mặt phẳng (AQC) và (ABC).

Answer 1

[Lê Song Phương]

 Xét hệ trục tọa độ Pxyz có \(\overrightarrow{i}\uparrow\uparrow\overrightarrow{PA};\overrightarrow{j}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC};\overrightarrow{k}\uparrow\uparrow\overrightarrow{PS}\)

 Khi đó \(A\left(a;0;0\right);C\left(-a;a\sqrt{3};0\right);D\left(a;a\sqrt{3};0\right);S\left(0;0;a\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow Q\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{3}}{2};\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

ptmp \(\left(ABC\right):z=0\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(ABC\right)}}=\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)\)

Có \(\overrightarrow{AC}=\left(-2a;a\sqrt{3};0\right)\); \(\overrightarrow{AQ}=\left(-\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{3}}{2};\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n_{\left(AQC\right)}}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AQ}\right]=\left(\dfrac{3a^2}{2};a^2\sqrt{3};-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)\)

Gọi \(\alpha=\widehat{\left(ABC\right),\left(AQC\right)}=\widehat{\overrightarrow{n_{ABC}},\overrightarrow{n_{AQC}}}=\widehat{\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}}\)

\(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{k}\right|}=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\left(\dfrac{3a^2}{2}\right)^2+\left(a^2\sqrt{3}\right)^2+\left(-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)^2}\sqrt{0^2+0^2+1}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow\alpha\approx69,3^o\)