Cho tỉ lệ thức a/b = c/d .Chứng minh rằng:ac/a2+c2 = bd/b2+d2
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{c^2}{d^2}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\dfrac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=k^2\)
\(\dfrac{ac}{bd}=k^2\)
Do đó: \(\dfrac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=\dfrac{ac}{bd}\)
Bạn đánh lại đề đi, Để ghi dấu mũ bạn ấn nút "x2" trên thanh công cụ, sau khi bạn gõ xong dấu mũ rồi bạn ấn lại nó để đưa về trạng thái thường
\(\frac{\left(a+b\right)2}{\left(c+d\right)2}=\frac{2a+2b}{2c+2d}\)
Vậy \(\frac{\left(a+b\right)2}{\left(c+d\right)2}=\frac{2a+2b}{2c+2d}\)
đặt a/b=c/d=k=>a=bk;c=dk
=>\(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{\left(bk+b\right)^2}{\left(dk+d\right)^2}=\frac{\left(b\left(k+1\right)\right)^2}{\left(d\left(k+1\right)\right)^2}=\frac{b^2}{d^2}\) (1)
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{b^2.k^2+b^2}{d^2.k^2+d^2}=\frac{b^2.\left(k^2+1\right)}{d^2.\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\) (2)
từ (1) và (2)=>đpcm
tick nhé
1)chứng minh cái j ???
2)\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
b)Ta có:
\(\left(ab+cd\right)^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+c^2d^2+2abcd\le a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)(Đpcm)
c)Áp dụng Bđt Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=2^2=4\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)\(\Rightarrow S\ge2\)
Dấu = khi \(x=y=1\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
\(\Rightarrow a=bk;c=bk\)
\(\Rightarrow\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk.dk}{bd}=k.k=k^2\) \(\left(1\right)\)
\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}k^2\)(2)
\(\Rightarrow\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ac}{a^2+c^2}=\dfrac{bd}{b^2+d^2}\)
\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1+1+1}{a+b+c}=\dfrac{3}{a+b+c}=\dfrac{3}{1}=3\)
\(\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=a^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)
Dễ ợt cái phần chứng minh chuyển thành \(\frac{bd}{ac}=\frac{b^2+d^2}{a^2+c^2}\)
Rồi bn tự chuyển đổi mà cm đi nha ( dễ ợt hà )