Question

[Dung Thái]

ho hình vuông ABCD. Gọi M, N, E là trung điểm của AB, BC, CD. Biết ND cắt MC tại I a) CM: MC vuông góc ND b) C/m= AI=AB c) Kẻ phân giác góc CDM cắt BC tại K C/m: MD = AM + KC

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Xét tam giác MBC và NCD có:

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCD}=90^o\)

MB = NC

BC = CD

\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta NCD\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MCB}=\widehat{NDC}\Rightarrow\widehat{MCB}+\widehat{INC}=\widehat{NDC}+\widehat{INC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CIN}=180^o-90^o=90^o\Rightarrow MC\perp ND\)

b)  Gọi giao điểm của AE và DN là J.

Xét tứ giác AMCE có AM song song và bằng EC nên AMCE là hình bình hành.

Vậy thì AE // MC \(\Rightarrow AE\perp DN\)

Xét tam giác vuoong DIC có IE là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EI = ED.

Xét tam giác cân EDI có EJ là đường cao nên nó cũng là phân giác \(\Rightarrow\widehat{DEA}=\widehat{IEA}\)

Vậy thì \(\Delta ADE=\Delta AIE\left(c-g-c\right)\Rightarrow AD=AI\Rightarrow AB=AI\)

c) Coi độ dài cạnh hình vuông là 1. Ta có :

\(MD=\sqrt{1^2+0,5^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Kéo dài DM cắt BC tại H.Ta có DH = 2DM, HB = BC

Xét tam giác DHC, áp dụng tính chất đường phân giác trong, ta có:

\(\frac{KC}{KH}=\frac{DC}{DM}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

Lại có \(KC+KH=CH=2\Rightarrow HK=2-KC\)

\(\Rightarrow2-KC=\sqrt{5}KC\Rightarrow KC=\frac{2}{\sqrt{5}+1}\)

Suy ra \(KC+AM=\frac{2}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}=MD\)

Vạy MD = KC + AM