chứng minh \(\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}< hoac=\frac{6}{7}\)cho a,b,c>0.a+b+c=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 3 2019
Web có hơn 600 nghìn câu hỏi mà toàn thấy câu hỏi giống nhau với câu thấy nhiều đến chảy hết nước mắt rồi
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 8 2020
\(1-\frac{a}{a+1}\ge\frac{2b}{b+1}+\frac{3c}{c+1}\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{c}{c+1}\ge5\sqrt[5]{\frac{b^2c^3}{\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^3}}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+3.\frac{c}{c+1}\ge5\sqrt[5]{\frac{abc^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)^3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(b+1\right)^2}\ge25\sqrt[5]{\frac{a^2b^2c^6}{\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^6}}\)
\(\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+2.\frac{b}{b+1}+2.\frac{c}{c+1}\ge5\sqrt[5]{\frac{ab^2c^2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(c+1\right)^3}\ge125\sqrt[5]{\frac{a^3b^6c^6}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^6\left(c+1\right)^6}}\)
Nhân vế với vế:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^3}\ge5^6\sqrt[5]{\frac{a^5b^{10}c^{15}}{\left(a+1\right)^5\left(b+1\right)^{10}\left(c+1\right)^{15}}}=\frac{5^6ab^2c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow ab^2c^3\le\frac{1}{5^6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{5}\)
NH
19 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
1. \(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2c}+\frac{c^2}{c+2a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+2b\right)+\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)}=\frac{a+b+c}{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2b}=\frac{b}{b+2c}=\frac{c}{c+2a}\Leftrightarrow a=b=c\)
2. \(\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(2a+3b\right)+\left(2b+3c\right)+\left(2c+3a\right)}=\frac{a+b+c}{5}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)
VH
3 tháng 4 2020
\(M=\left(a-\frac{6}{a+1}\right)+\left(2b-\frac{3}{b+1}\right)+\left(3c-\frac{2}{c+1}\right)\)
\(M=\left(a+2b+3c\right)-6\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2b+2}+\frac{1}{3c+3}\right)\)
\(M\le6-\frac{6.\left(1+1+1\right)^2}{a+1+2b+2+3c+3}\)
\(M\le6-\frac{6.9}{6+6}=6-\frac{9}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=3;b=1;c=\frac{1}{3}\)
ta có:\(\frac{a}{a+1}=1-\frac{1}{a+1};\frac{2b}{2+b}=2-\frac{4}{2+b};\frac{3c}{3+c}=3-\frac{9}{3+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{2+b}+\frac{3c}{3+c}\le\left(1+2+3\right)-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{4}{b+2}+\frac{9}{c+3}\right)\)
\(\le6-\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+1+2+3}=6-\frac{36}{7}=\frac{6}{7}\left(Q.E.D\right)\)