Cho a + b + c = 1 va a2 + b2 + c2 = 1. Neu \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
Chung minh: xy + yz + xz = 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TM
10 tháng 9 2017
lẽ ra x,y,z>0 chứ sao lại a,b,c>0 :))
Áp dụng bđt Cô-si:\(x^2+yz\ge2\sqrt{x^2.yz}=2x\sqrt{yz}\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+yz}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}\)
tương tự: \(\frac{1}{y^2+xz}\le\frac{1}{2y\sqrt{xz}};\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2z\sqrt{xy}}\)
=>\(\frac{1}{x^2+yz}\)\(+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\)
Mặt khác theo bđt Cô-si thì: \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2};\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2};\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\)
=>\(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)
=>\(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+xz}+\frac{1}{z^2+xy}\le\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2xyz}\le\frac{x+y+z}{2xyz}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
ta có đpcm.
10 tháng 9 2017
Áp dụng cauchy cho mỗi mẫu số vế trái , có :
\(VT\le\frac{1}{2x\sqrt{yz}}+\frac{1}{2y\sqrt{xz}}+\frac{1}{2z\sqrt{xy}}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{xz}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{\sqrt{yz}}{xyz}+\frac{\sqrt{xz}}{xyz}+\frac{\sqrt{zx}}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xz}}{xyz}\)
Biến đổi vế phải , có :
\(VP=\frac{1}{2}.\left(\frac{z}{xyz}+\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}\right)=\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\)
Ta có :
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
<=> \(2x+2y+2z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\) (đúng - Hệ quả của Cauchy, lên mạng sợt là ra )
=> \(\frac{1}{2}.\frac{x+y+z}{xyz}\ge\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{xyz}\)
=> \(VP\ge VT\)
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
21 tháng 7 2023
Ta có
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) (1)
Ta có
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\) (2)
Từ (1) và (2)
\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
21 tháng 2 2018
ta co A+B+C=...
QUY ĐỒNG BÌNH THƯỜNG
\(\left(x-y\right)\left(1+yz\right)\left(1+xz\right)+\left(y-z\right)\left(1+xy\right)\left(1+xz\right)+\left(z-x\right)\left(1+xy\right)\left(1+yz\right)\)
=\(\left(1+xz\right)\left(x+xyz-y-y^2z+y+xy^2-z-xyz\right)+\left(z-x\right)\left(1+xy\right)\left(1+yz\right)\)
=\(\left(1+xz\right)\left(-1-y^2\right)\left(z-x\right)+\left(z-x\right)\left(1+xy\right)\left(1+yz\right)\)
=\(\left(z-x\right)\left(yz-xz+xy-y^2\right)\)
tự giải tiếp
UK
15 tháng 8 2017
3) \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1\)
\(\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\left(a+b+c\right)=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2+b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2}{b+c}+a+\dfrac{b^2}{a+c}+b+\dfrac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\)
Vậy: \(P=0\)
TC
27 tháng 8 2017
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
2 tháng 6 2017
Câu 2: \(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)^2=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{z}\right)^2\left(\frac{yz}{x}\right)^2\left(\frac{xy}{y}\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^2}}=3\)\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge\sqrt{3+6}=3\left(dpcm\right)\)
DD
3 tháng 6 2017
tại sao lại suy ra đc \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^{^2}}}=3\) vậy cậu?
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)