Chứng minh rằng: \(2x+6.\sqrt[3]{1-x}=3\) có 3 nghiệm phân biệt
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 5 2023
- Dễ dàng nhận thấy \(x=-1\) không phải là 1 nghiệm của đa thức P(x).
- Gọi b là 1 nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\)
Do đó: \(b^3+3b^2-1=0\)
\(\Rightarrow\left(b^3+3b^2+3b+1\right)-3\left(b+1\right)+1=0\)
\(\Rightarrow\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(b+1\right)^3-3\left(b+1\right)+1}{\left(b+1\right)^3}=0\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^3-3.\left(\dfrac{1}{b+1}\right)^2+1=0\)
\(\Rightarrow\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)
Thay \(x=-\dfrac{1}{b+1}\) vào \(P\left(x\right)=x^3+3x^2-1\) ta được:
\(P\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)=\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^3+3.\left(-\dfrac{1}{b+1}\right)^2-1=0\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{b+1}\) là một nghiệm của đa thức P(x).
Đặt \(a=-\dfrac{1}{b+1}\Rightarrow ab+a+1=0\) \(\Rightarrowđpcm\)
5 tháng 8 2021
a) \(\Delta=\left[-\left(m+3\right)\right]^2-4.1.m\\ =m^2+6m+9-4m\\ =m^2+2m+9\\ =\left(m+1\right)^2+8>0\forall m\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+3\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Mà \(x_1^2+x_2^2=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\\ \Leftrightarrow\left(m+3\right)^2-2m=6\\ \Leftrightarrow m^2+6m+9-2m=6\\ \Leftrightarrow m^2+4m+3=0\\ \Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m+3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m\in\left\{-1;-3\right\}\) là các giá trị cần tìm.
5 tháng 8 2021
a, Ta có: \(\Delta=\left[-\left(m+3\right)\right]^2-4.1.m\)
\(=m^2+6m+9-4m\)
\(=m^2+2m+9\)
\(=m^2+2m+1+8\)
\(=\left(m+1\right)^2+8\)
Lại có: \(\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\Rightarrow\left(m+1\right)^2+8\ge8\forall m\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiêm phân biệt
b, Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+3\\x_1+x_2=m\end{matrix}\right.\)
Theo bài ra:
\(x_1^2+x_2^2=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)
\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)^2-2m=6\)
\(\Leftrightarrow m^2+6m+9-2m=6\)
\(\Leftrightarrow m^2+6m+9-2m-6=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m+3=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+m+3m+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2+m\right)+\left(3m+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(m+1\right)+3\left(m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(m+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+1=0\\m+3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy với m=-1 hoặc m=-3 thì phương trinh trên thỏa mãn hệ thức
HP
28 tháng 1 2021
a, \(\sqrt{2x^2-2x+m}=x+1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-2x+m=x^2+2x+1\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x+m-1=0\left(1\right)\\x\ge-1\end{matrix}\right.\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(x\ge-1\) chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau
TH1: \(x_1\ge x_2\ge-1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}\ge-1\\1.f\left(-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-m\ge0\\2\ge-1\\m+4\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow-4\le m\le5\)
TH2: \(x_1\ge-1>x_2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5-m\ge0\\m+4< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) vô nghiệm
Vậy \(-4\le m\le5\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=8x^3-6x-1\)
Hàm số liên tục trên R
\(f\left(-1\right)=-3< 0\) ; \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(-\dfrac{1}{2}\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(f\left(0\right)=-1< 0\Rightarrow f\left(-\dfrac{1}{2}\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có 1 nghiệm thuộc \(\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\)
\(f\left(1\right)=1>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) có 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb
Do cả 3 nghiệm của \(f\left(x\right)\) đều thuộc \(\left(-1;1\right)\) nên ta chỉ cần xét các giá trị x thuộc khoảng này
Đặt \(x=cosu\) pt trở thành:
\(8cos^3u-6cosu-1=0\Leftrightarrow2\left(4cos^3u-3cosu\right)=1\)
\(\Leftrightarrow cos3u=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}u=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\\u=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow u=\left\{\dfrac{\pi}{9};\dfrac{5\pi}{9};\dfrac{7\pi}{9}\right\}\)
\(\Rightarrow x=\left\{cos\dfrac{\pi}{9};cos\dfrac{5\pi}{9};cos\dfrac{7\pi}{9}\right\}\)
\(f\left(x\right)=2x+6\sqrt[3]{1-x}-3\) liên tục trên R.
\(f\left(1\right)=-1;f\left(0\right)=3;f\left(-7\right)=-5;f\left(9\right)=3\)
\(f\left(-7\right)f\left(0\right)< 0\) --> f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng (-7; 0)
\(f\left(0\right)f\left(1\right)< 0\) --> f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
\(f\left(1\right)f\left(9\right)< 0\) --> f(x) = 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 9)
Vậy f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.