Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt AM - GM, ta có:
\(4\sqrt{3}S=4\sqrt{3}\times\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
\(=4\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}{4}\)
\(\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\times\sqrt{\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{3}\)
\(=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2-2ac+c^2\right)-\left(b^2-2bc+c^2\right)}{3}\)
\(=a^2+b^2+c^2-\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c (\(\Delta ABC\) đều)
Làm linh tinh đấy -.- hổng chắc đâu Ọ v Ọ
Còn một cách rất pá đạo nữa , không hiểu nổi lấy ý tưởng từ đâu luôn:
CM:\(a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt{3}S\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2-2ab.\cos C-4\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.ab.\sin C\ge0\)( định lý cos + CT diện tích)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2-2ab\right)+4ab-4ab.\dfrac{1}{2}.\cos C-4ab.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sin C\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2+4ab\left(1-\cos\dfrac{\pi}{3}.\cos C-\sin\dfrac{\pi}{3}.\sin C\right)\ge0\)
( \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\cos60=\dfrac{1}{2}\);\(\sin\dfrac{\pi}{3}=\sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\))
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2+4ab\left[1-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-C\right)\right]\ge0\)( luôn đúng vì \(-1\le\cos\alpha\le1\))
( \(\cos\left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\))
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với mọi x,y>0
Ta có: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
a ) Khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(3a^2\right)^2-6a^4}=\frac{1}{4}\sqrt{3a^4}\)
\(\Rightarrow S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Vậy diện tích tam giác đều cạnh a là \(S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\)
b ) Khi \(a^2=b^2+c^2\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(2a^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(a^4-b^4-c^4\right)}\)
Từ \(b^2+c^2=a^2\)
\(\Rightarrow b^4+c^4+2b^2c^2=a^4,\)ta tính ra :
\(S=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2}\) \(\Rightarrow S=\frac{2}{4}b.c\) \(\Rightarrow S=\frac{1}{2}bc\)
Vậy diện tích tam giác vuông thì bằng \(\frac{1}{2}\) tích 2 cạnh góc vuông .
Lời giải
Theo đề bài thì \(p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\)
Tương tự: \(p-b=\frac{c+a-b}{2};p-c=\frac{a+b-c}{2}\)
Ta cần c/m: \(\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}+\frac{2}{a+b-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có: \(VT=\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)+\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)+\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)\)
\(\ge\frac{4}{2c}+\frac{4}{2a}+\frac{4}{2b}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{\left(đpcm\right)}\)
Ta có:\(p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}=\frac{2}{b+c-a}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{p-b}=\frac{2}{a+c-b}\)
\(\frac{1}{p-c}=\frac{2}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
\(\frac{1}{b+c-a}=\frac{\left(1+1-1\right)^2}{b+c-a}\ge\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\)
Tương tự,ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{đpcm}\)
a = 60cm
p = 160/2 = 80cm
p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\) (1) => \(\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{b+c}{2}\)
Vì a, p là 1 hằng số nên để S đạt GTLN <=> (p-b) và (p-c) đạt GTLN
Áp dụng bđt Cosin, ta có:
\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) <= \(\dfrac{p-b+p-c}{2}\) = \(\dfrac{2p-b-c}{2}\)
=> \(\dfrac{S}{\sqrt{p\left(p-a\right)}}\) <= \(p-\dfrac{b+c}{2}\) = \(p-\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{a}{2}\)
=> 2S <= \(a\sqrt{p\left(p-a\right)}\) = \(60\sqrt{80.\left(80-60\right)}\) = 2400
=> S <= 1200 (\(cm^2\))
Dấu "=" xảy ra
<=> \(p-b\) = \(p-c\)
<=> b = c
Thay b = c vào (1), ta được:
p = \(\dfrac{a+2b}{2}\) => 80 = \(\dfrac{60+2b}{2}\) => b = c = 50 (cm)
=> đpcm
Bất đẳng thức cần cm tương đương:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Mặt khác theo bđt AM - GM (Chú ý a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0) ta có:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Vậy ta có đpcm.
