K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 8 2017

1 <  x /x+y + y /y+x+ z /z+x < 2

=> 1 < (x + y + z) / (2x + 2y + 2z)  < 2

=> 1 <  ( x + y + z) / 2 x ( x+ y +z)  < 2

=>  1 < ( 1 /2 + 2 - 1) < 2

Vậy 1< 1,5 < 2 => 1 <  x /x+y + y /y+x+ z /z+x < 2

nhớ tích cho mk nhé! 

14 tháng 1 2018

\(1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}< 2\)

\(=>1< \left(x+y+z\right):2\left(x+y+z\right)< 2\)

\(=>1< \frac{1}{2}+2-1< 2\)

\(=>1< 1,5< 2\)

\(=>1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\)

Với x, y, z nguyên dương 

Ta có: \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)

          \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)

          \(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(1)

Mặt khác \(\frac{x}{x+y}< 1\Rightarrow\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\)

           \(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\)

           \(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< 2\)(2)

Từ (1) và (2) => dpcm

14 tháng 1 2018

Có : x/x+y ; y/y+z ; z/z+x đều > 0

=> x/z+y + y/y+z + z/z+x > x/x+y+z + y/x+y+z + z/x+y+z = x+y+z/x+y+z = 1 (1)

Lại có : x,y,z > 0

=> 0 < x/x+y ; y/y+z ; z/z+x < 1

=> x/x+y + y/y+z + z/z+x < x+z/x+y+z + y+x/x+y+z + z+y/x+y+z = x+z+y+x+z+y/x+y+z = 2 (2)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Tk mk nha

27 tháng 10 2020

Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1

=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng

Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương

Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)

=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)

Tương tự: 

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)

\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

11 tháng 3 2017

Ta có : 

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{y+z+t}< \frac{y+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{z+t+x}< \frac{z+y}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{t+x+y}< \frac{t+z}{x+y+z+t}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

Do đó M ko nhận giá trị nguyên

11 tháng 3 2017

mình biết làm nhưng ghi phân  số mỏi tay quá

19 tháng 9 2019

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta được:

\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{2}.\frac{x+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y\left(y+1\right)}.\frac{y}{2}.\frac{y+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{z\left(z+1\right)}.\frac{z}{2}.\frac{z+1}{4}}=3.\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{x}{2}+\frac{x+1}{4}\)\(+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{y}{2}+\frac{y+1}{4}\)

\(+\frac{1}{z\left(z+1\right)}+\frac{z}{2}+\frac{z+1}{4}\ge\frac{3}{2}.3=\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

16 tháng 5 2020

\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)

27 tháng 6 2020

\(VT-VP=\Sigma\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{y^2}\ge0\)

15 tháng 2 2015

Vì x, y, z là các số nguyên dương

Ta có: x/x+y>x/x+y+z

 

23 tháng 2 2015

A = \(\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{x+z}\)

A=3 \(-\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)

mà \(\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)

=> A <2 (1)

mặt khác A=\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\)

mà \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)

=> A >1 (2)

từ (1) và (2) => 1<A<2 => A ko phải là số nguyên

2 tháng 2 2017

Bạn Hiếu làm đúng rồi đấy!