Question

[Chi Khánh]

Giúp mình giải câu c và d với ạ:

Gọi C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn \((O)\), đường kính AB \(=\) R \(\left(C\ne A,C\ne B\right)\). Tia BC cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tại M. Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt AM tại I.

a, Chứng minh bốn điểm I, A, O, C cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh OI \(\perp\) AC

c, Gọi D là giao điểm của OI và Ac. Vẽ OE vuông góc với BC \(\left(E\varepsilon BC\right)\). Chứng minh DE \(=\) R

d, Chứng minh IC\(^2\) \(=\) \(\dfrac{1}{4}\) MC . MB

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác IAOC có

\(\widehat{IAO}+\widehat{ICO}=90^0+90^0=180^0\)

=>IAOC là tứ giác nội tiếp

=>I,A,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

IA,IC là tiếp tuyến

Do đó: IA=IC

=>I nằm trên đường trung trực của AC(1)

ta có: OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OI là đường trung trực của AC

=>OI\(\perp\)AC

c: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Ta có: OI là đường trung trực của AC

=>OI vuông góc với AC tại trung điểm của AC

mà OI cắt AC tại D

nên OI\(\perp\)AC tại D và D là trung điểm của AC

Xét tứ giác CDOE có

\(\widehat{CDO}=\widehat{CEO}=\widehat{ECD}=90^0\)

=>CDOE là hình chữ nhật

=>CO=DE=R

d: Xét ΔIAC có IA=IC

nên ΔIAC cân tại I

=>\(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)

Ta có: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB tại C

=>AC\(\perp\)MB tại C

=>ΔACM vuông tại C

Ta có: \(\widehat{IAC}+\widehat{IMC}=90^0\)(ΔACM vuông tại C)

\(\widehat{ICA}+\widehat{ICM}=\widehat{ACM}=90^0\)

mà \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)

nên \(\widehat{IMC}=\widehat{ICM}\)

=>IM=IC

mà IC=IA

nên IM=IA

=>I là trung điểm của MA

=>\(MA=2\cdot IC\)

Xét ΔABM vuông tại A có AC là đường cao

nên \(MC\cdot MB=MA^2\)

=>\(MC\cdot MB=\left(2\cdot IC\right)^2=4\cdot IC^2\)

=>\(IC^2=\dfrac{1}{4}\cdot MC\cdot MB\)