Question

[Yoriichi Tsugikuni]

Cho AB // CD, AB = CD sao cho C, B thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AD. Gọi AC giao BD tại O.

1. Chứng minh:

a) O là trung điểm AC, BD

b) AD // BC

c) AD = BC

2. Kẻ AH ⊥ BD, AH giao CD tại E. CK ⊥ BD, CK giao AB tại F. Chứng minh:

a) AH = CK

b) AK // CH

c) O là trung điểm HK

d) O là trung điểm EF

3. Lấy M trên AD, N trên CB sao cho AM = CN. Chứng minh: O là trung điểm MN.

4. Lấy I trên BC rồi kẻ IO giao AD tại V. Chứng minh: BI = DV.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1:

a: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

AB=CD

\(\widehat{OBA}=\widehat{ODC}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔOAB=ΔOCD

=>OA=OC và OB=OD

=>O là trung điểm chung của AC và BD

b: Xét ΔOAD và ΔOCB có

OA=OC

\(\widehat{AOD}=\widehat{COB}\)

OD=OB

Do đó: ΔOAD=ΔOCB

=>\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AD//BC

c: ΔOAD=ΔOCB

=>AD=BC

2:

a: Xét ΔAHO vuông tại H và ΔCKO vuông tại K có

OA=OC

\(\widehat{AOH}=\widehat{COK}\)

Do đó: ΔAHO=ΔCKO

=>AH=CK và OH=OK

b: Xét ΔAOK và ΔCOH có

OA=OC

\(\widehat{AOK}=\widehat{COH}\)

OK=OH

Do đó; ΔAOK=ΔCOH

=>\(\widehat{OAK}=\widehat{OCH}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AK//CH

c: OH=OK

H,O,K thẳng hàng

Do đó: O là trung điểm của HK

d: AH\(\perp\)BD

CK\(\perp\)BD

Do đó: AH//CK

=>AE//CF

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AF//CE

Do đó: AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nen O là trung điểm của EF

3: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC

nên O là trung điểm của MN

4: Xét ΔOIB và ΔOVD có

\(\widehat{IBO}=\widehat{VDO}\)

OB=OD

\(\widehat{IOB}=\widehat{VOD}\)

Do đó: ΔOIB=ΔOVD

=>BI=DV