Tìm tất cả các số hữu tỉ a, b sao cho \(x=1+\sqrt{3}\) là nghiệm của phương trình:
\(3x^3+dx^2+bx+c=0\) .Gọi \(x_1,x_2,x_3\) là nghiệm của phương trình \(S_n=x_1^n+x^n_2+x_3^n\) . Chứng minh rằng: \(S_n\in\) Z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2021
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-2x-2=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(x^2-2x-2=0\)
Do \(2^n\) nguyên nên ta chỉ cần chứng minh \(P\left(n\right)=x_1^n+x_2^n\) nguyên
\(P\left(1\right)=x_1+x_2=2\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(2\right)=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\in Z\) thỏa mãn
\(P\left(1\right).P\left(n\right)=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^n+x_2^n\right)=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow2P\left(n\right)=P\left(n+1\right)-2P\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P\left(n+1\right)=2P\left(n\right)+2P\left(n-1\right)\)
\(P\left(1\right);P\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(3\right)\) nguyên \(\Rightarrow P\left(4\right)\) nguyên \(\Rightarrow...\Rightarrow P\left(n\right)\) nguyên với mọi n (đpcm)
TT
19 tháng 9 2020
a) Phương trình có nghiệm \(x=2-\sqrt{3}\) nên :
\(\left(2-\sqrt{3}\right)^3+a.\left(2-\sqrt{3}\right)^2+\left(2-\sqrt{3}\right)b-1=0\)
\(\Leftrightarrow20-11\sqrt{3}+a.\left(7-4\sqrt{3}\right)+2b-b\sqrt{3}-1=0\)
\(\Leftrightarrow7a+2b+19=\sqrt{3}.\left(11+4a+b\right)\) (*)
Với a,b là các số hữu tỉ thì từ (*) suy ra :
\(\hept{\begin{cases}7a+2b+19=0\\11+4a+b=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=-1\end{cases}}\) ( Thỏa mãn )
b) Hóng cách làm vì mình không biết làm :((
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
\(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_2+x_3}{x_1+x_2}=\dfrac{x_2+x_3}{3}\) (1)
\(\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{x_3+x_4}{x_2+x_3}=\dfrac{12}{x_2+x_3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x_2+x_3}{3}=\dfrac{12}{x_2+x_3}\Rightarrow x_2+x_3=\pm6\)
Th1: \(x_2+x_3=6\) thế vào (1):
\(\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{6}{3}=2\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=2x_1\\x_4=2x_3\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_3+x_4=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_1=3\\3x_3=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=1;x_2=2\\x_3=4;x_4=8\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=x_1x_2=2\)
Khỏi cần làm TH2 \(x_2+x_3=-6\) nữa, chọn luôn C
