cho đton (O ) ,kẻ tiếp tuyến ab ac , M thuộc cung BC . D,E,F là hình chiếu của M trên AB AC BC
cm a, tứ giác DMFB nội tiếpb, BM cắt FD Tại D , CM cắt FE tại Q cm tứ giác MPFQ nội tiếpHãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét tứ giác DHEC có
góc HDC+góc HEC=180 độ
nên DHEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét tứ giác ABDE có
góc AEB=góc ADB=90 độ
Do đo; ABDE là tứ giác nội tiếp
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
b: AEHF nội tiếp
=>góc AEF=góc AHF=góc ACH
=>góc FEB+góc FCB=180 độ
=>BEFC nội tiếp
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
=>góc xAC=góc ABC=góc AFE
=>FE//Ax
=>AD vuông góc FE
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1: M là điểm chính giữa của cung AC
=>MA=MC
mà OA=OC
nên OM là trung trực của AC
=>OM vuông góc AC tại K
góc AHO+góc AKO=180 độ
=>AHOK nội tiếp
3: Gọi G là trung điểm của AB
ΔOAB cân tại O
mà OG là trung tuyến
nên OG là trung trực của AB
=>OH là một phần đường kính của đường tròn ngoại tiếp ΔOAB
Xet ΔABC co BH/BA=BO/BC
nên OH//AC
=>OH vuông góc OM
=>OM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiêp ΔABC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta thấy: Điểm K nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)BDE nên tứ giác DKBE nội tiếp đường tròn
=> ^BEK = ^BDK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BK) hay ^AEK = ^FDK
Mà tứ giác DKFC nội tiếp đường tròn => ^FDK = ^FCK
Nên ^AEK = ^FCK hay ^AEK = ^ACK => Tứ giác AKCE nội tiếp đường tròn
=> ^KAE = ^KCD (Cùng bù ^KCE) hay ^KAB = ^KCD
Do tứ giác BKDE nội tiếp đường tròn nên ^KDE = ^KBA hay ^KBA = ^KDC
Xét \(\Delta\)DKC và \(\Delta\)BKA có: ^KAB = ^KCD; ^KBA = ^KDC => \(\Delta\)DKC ~ \(\Delta\)BKA (g.g)
=> \(\frac{KC}{KA}=\frac{KD}{KB}\Rightarrow\frac{KC}{KD}=\frac{KA}{KB}\).
Đồng thời ^DKC = ^BKA => ^DKC + ^BKC = ^BKA + ^BKC => ^BKD = ^AKC
Xét \(\Delta\)KBD và \(\Delta\)KAC có: ^BKD = ^AKC; \(\frac{KC}{KD}=\frac{KA}{KB}\)=> \(\Delta\)KBD ~ \(\Delta\)KAC (c.g.c)
=> ^KBD = ^KAC hoặc ^KBF = ^KAF => Tứ giác AKFB nội tiếp đường tròn
=> ^BKF = ^BAF (2 góc nội tiếp chắn cung BF) => ^BKF = ^BAC = ^BDC (Do ^BAC và ^BDC cùng chắn cung BC) (1)
Ta có: ^BDC = ^FDC = ^FKC (Cùng chắn cung FC) (2)
Xét \(\Delta\)BMC: ^BMC + ^MBC + ^MCB = 1800. Mà ^MBC = ^BAC; ^MCB = ^BDC (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Nên ^BAC + ^BDC + ^BMC = 1800 (3)
Thế (1); (2) vào (3) ta được: ^BKF + ^FKC + ^BMC = 1800 => ^BKC + ^BMC = 1800
=> Tứ giác BKCM nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Ta có: ^BKF = ^BDC (cmt) => ^BKF = ^BDE = ^BKE (Do tứ giác DKBE nội tiếp đường tròn)
Mà 2 điểm F và E nằm cùng phía so với BK => 3 điểm K;F;E thẳng hàng. Hay F nằm trên KE (*)
Mặt khác: ^BKF = ^CKF (Vì ^BKF = ^BAC; ^CKF = ^BDC; ^BAC = ^BDC)
=> ^BKE = ^CKE (Do K;F;E thẳng hàng) => ^KE là phân giác của ^BKC (4)
Xét tứ giác BKCM nội tiếp đường tròn: ^MBC = ^MKC; ^MCB = ^MKB
Lại có: \(\Delta\)BCM cân ở M do MB=MC (T/c 2 tiếp tuyến giao nhau) => ^MBC=^MCB
Từ đó: ^MKC = ^MKB => KM là phân giác của ^BKC (5)
Từ (4) và (5) suy ra: 3 điểm K;M;E thẳng hàng. Hoặc M nằm trên KE (**)
Từ (*) và (**) => 3 điểm E;M;F thẳng hàng (đpcm).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b, Vì DF//AB nên \(\widehat{DHC}=\widehat{BAC}\)(đồng vị)
mà \(\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{DOC}\)(góc nội tiếp và góc ở tâm)
\(\Rightarrow\widehat{DOC}=\widehat{DHC}\)hay tứ giác DOHC nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DHO}=\widehat{DCO}=90^0\)\(\Rightarrow OH\perp DF\)
câu c tí nữa làm :P
c, Từ a, b => 5 điểm B,O,H,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính OD
Vì tứ giác BHCD nội tiếp \(\Rightarrow ID.IH=IB.IC\)
Vì tứ giác BECF nội tiếp \(\Rightarrow IE.IF=IB.IC\)
\(\Rightarrow ID.IH=IE.IF\)
a: Xét tứ giác BDMF có
\(\widehat{BDM}+\widehat{BFM}=180^0\)
=>BDMF là tứ giác nội tiếp
câu b đâu ạ