K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 7 2017

Hình thì e tự vẽ nha

a)  Dễ dàng c/m đc AEHF là hcn => AH = EF

Áp dụng hệ thức lượng ta có

\(BC^2=\left(BH+CH\right)^2=BH^2+CH^2+2AH.BH\)

\(=BE^2+HE^2+CF^2+HF^2+2AH^2=BE^2+CF^2+2AH^2+\left(HE^2+HF^2\right)\)

\(=BE^2+CF^2+2AH^2+EF^2=BE^2+CF^2+2AH^2+AH^2\)

\(=BE^2+CF^2+3AH^2\)

b)  \(\Delta ABH\)  có  \(BE=\frac{BH^2}{AB}\)  \(\Rightarrow BE^2=\frac{BH^4}{AB^2}\)

Tương tự  \(CF^2=\frac{CH^4}{AC^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và BĐT  \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

Do đó  \(BE^2+CF^2=\frac{BH^4}{AB^2}+\frac{CH^4}{AC^2}\ge\frac{\left(BH^2+CH^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\ge\frac{\left[\frac{\left(BH+CH\right)^2}{2}\right]^2}{BC^2}=\frac{\left[\frac{BC^2}{2}\right]^2}{BC^2}\)

\(=\frac{\frac{BC^4}{4}}{BC^2}=\frac{BC^2}{4}=\frac{\left(2a\right)^2}{4}=a^2\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow BH=CH\)  hay H là trung điểm BC.

Như vậy AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

=> Tam giác ABC vuông cân tại A.

p/s: làm lụi thôi nha, ko bt đúng ko nữa. Đúng thì cho mk 1 k nha

30 tháng 7 2017

cảm ơn nha làm lụi nhưng chắc đúng đó

16 tháng 6 2015

a, áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông AHB,AHC, ABC có các đường cao ta có:\(BE=\frac{BH^2}{AB};CF=\frac{HC^2}{AC};BE.CF=\frac{BH^2.HC^2}{AB.AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}\)\(BC=\frac{AB^2}{AH}\)

\(BC.CE.CF=\frac{AB^2}{AH}.\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^3.AB}{AC}=AH^3.\frac{AB}{AC}\).

tam giác này người ta k cho cân => AB/AC không =1 đc => BC.BE.CF khác AH^3

\(EB=\frac{BH^2}{AB};FC=\frac{HC^2}{AC}\Rightarrow\frac{EB}{FC}=\frac{BH^2.AC}{AB.HC^2}\). VỚI TAM GIÁC ABC TA CÓ: \(BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH^2=\frac{AB^4}{BC}\Leftrightarrow HC^2=\frac{AC^4}{BC}\) => \(\frac{EB}{FC}=\frac{\frac{AB^4}{BC}.AC}{AB.\frac{AC^4}{BC}}=\frac{AB^4.AC.BC}{AB.AC^4.BC}=\frac{AB^3}{AC^3}\)

B) C/M TỨ GIÁC AEHF LÀ HÌNH CHỮ NHẬT => EF=AH(T/C) => EF LỚN NHẤT <=> AH LỚN NHẤT

TỪ A KẺ TRUNG TUYẾN AM. \(AH\le AM\) (ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN) => AH LỚN NHẤT KHI AH=AM <=> AH=1/2 BC=1/2a<=> EF LỚN NHẤT =1/2a (AM LÀ TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG => = 1/2 CẠNH HUYỀN)

TỪ CÁC CÔNG THỨC ĐÃ LẬP Ở TRÊN, S AEHF=AE.AF=\(\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^4}{\sqrt{BH.BC.HC.BC}}=\frac{AH^4}{BC\sqrt{AH^2}}=\frac{AH^3}{BC}\)

CHỈ LÀM ĐC ĐẾN ĐÂY THÔI :-/ DÙ SAO CŨNG ĐC ÍT NHIỀU :)

16 tháng 7 2021

a) đề phải là \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

Ta có: \(\dfrac{EB}{FC}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE.BA}{AC.CF}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\left(\dfrac{BH}{CH}\right)^2=\left(\dfrac{BH.BC}{CH.BC}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{AB^2}{AC^2}\right)^2=\dfrac{AB^4}{AC^4}\Rightarrow\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

b) Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AH^2=EF^2=EH^2+HF^2\)

Ta có: \(3AH^2+BE^2+CF^2=\left(BE^2+EH^2\right)+\left(CF^2+FH^2\right)+2AH^2\)

\(=BH^2+CH^2+2.BH.CH=\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)

 

e: BE*BC^2

=BH^2/BA*BC^2

=(BH*BC)^2/BA

=BA^4/BA=BA^3

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 6 2018

Hỏi đáp Toán

28 tháng 7 2017

Bạn tự vẽ hình nha!

a) CMR :

Tứ giác EHFA có nên tứ giác EHFA là hình chữ nhật .

Ta có :



Vậy , ta phải CMR :

Xét tam giác vuông BHA :

Xét tam giác vuông CHA :

Cộng (1) với (2) :



Suy ra điều phải chứng minh .

b) Tìm min của biết .





Cộng lại :

(do )

(theo Cosi)

=> . Dấu "=" khi

<=> vuông cân ở A .

.

29 tháng 7 2017

A B C H E F

a) auto prove

b) Ta có:\(BE.AB=BH^2\)(hệ thức về cạnh và đường cao trong tg v)

\(\Rightarrow BE=\dfrac{BH^2}{AB}\)\(\Rightarrow BE^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}\)

Tương tự với CF,ta có: \(BE^2+CF^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}+\dfrac{HC^4}{AC^2}\ge\dfrac{\left(HB^2+HC^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\)( BĐT cauchy-schwarz)

\(HB^2+HC^2\ge\dfrac{1}{2}\left(HB+HC\right)^2=\dfrac{1}{2}.BC^2\)(BĐT bunyakovsky)

\(\Rightarrow BE^2+CF^2\ge\dfrac{\dfrac{1}{4}BC^4}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{4a^2}{4}=a^2\)

Dấu = xảy ra khi tam giác ABC vuông cân ở A

2 tháng 8 2019

Câu hỏi của Nguyễn Tấn Phát - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo!

23 tháng 6 2017

a, bc^2 = ab^2 +ac^2 

      <=.> (ae+eb)^2   +(af+fc)^2

     <=.>AE^2 +2 AE.EB +EB^2 +AF^2+FC^2+2AF,FC 

<=> EF^2 +EB^2 +CF^2 +2.(EH^2+FH^2)

<=>EB^2 +CF^2 + AH ^2  + 2 AH^2 vì tứ giác EHAF là hcn suy ra AH =EF 

<=>EB^2 +CF^2+3 AH^2  (đpcm)

b, cb =2a là thế nào vậy

25 tháng 6 2017

đề bài cho vậy