K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

A=\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+y\right)=x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}+1+y+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+1\)

=\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)

mà x2+y2=1

=>2(x2+y2)>(=)(x+y)2

\(\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\ge\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)+4\)

                                                                            \(=\left[\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\right]+4\ge2\sqrt{2}+\sqrt{2}+4=4+3\sqrt{2}\)

13 tháng 7 2017

Câu hỏi của Nguyễn Quỳnh Nga - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

20 tháng 10 2020

1111111111111111111

\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)

Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)

Là xong.

29 tháng 7 2016

a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)

ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm ) 

dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0 

vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0

5 tháng 11 2019

Áp dụng BĐT cô si\(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1\ge\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x-1\right)^3}\cdot1\cdot1}=\frac{1}{x-1}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^3}\ge\frac{3}{x-1}-2\left(1\right)\)

\(\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+1+1\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{x-1}{y}\right)^3\cdot1\cdot1}=\frac{3x-3}{y}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x-1}{y}\right)^3\ge\frac{3x-3}{y}-2\left(2\right)\)

\(\frac{1}{y^3}+1+1\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y^3}\cdot1\cdot1}=\frac{3}{y}\Rightarrow\frac{1}{y^3}=\frac{3}{y}-2\left(3\right)\)

Cộng vế theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có:

\(VT\ge\frac{3}{x-1}-6+\frac{3x-3}{y}+\frac{3}{y}\)

\(=\frac{3-6x+6}{x-1}+\frac{3x}{y}\)

\(=3\left(\frac{3-2x}{x-1}+\frac{x}{y}\right)\)

4 tháng 12 2017

Ta có:

\(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+1+1+\dfrac{1}{y^3}+1+1\)

\(\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+\dfrac{1}{y^3}\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}-2\right)\)

\(=3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)

28 tháng 6 2019

Ta có  : \(\frac{1+x}{2}\ge\sqrt{x}\Rightarrow\left(\frac{1+x}{2}\right)^n\ge\sqrt{x^n}\) (1)

            \(\frac{1+y}{2}\ge\sqrt{y}\Rightarrow\left(\frac{1+y}{2}\right)^n\ge\sqrt{y^n}\)(2)

            \(\frac{1+z}{2}\ge\sqrt{z}\Rightarrow\left(\frac{1+z}{2}\right)^n\ge\sqrt{z^n}\)(3) 

Từ 1,2,3 \(\Rightarrow\left(\frac{1+x}{2}\right)^n+\left(\frac{1+y}{2}\right)^n+\left(\frac{1+z}{2}\right)^n\ge\sqrt{x^n}+\sqrt{y^n}+\sqrt{z^n}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ta có : 

\(\sqrt{x^n}+\sqrt{y^n}+\sqrt{z^n}\ge3^3\sqrt{\sqrt{x^n}.\sqrt{y^n}.\sqrt{z^n}}=3\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1+x}{2}\right)^n+\left(\frac{1+y}{2}\right)^n+\left(\frac{1+z}{2}\right)^n\ge3\)

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1 

23 tháng 8 2017

chứng minh $\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

NV
1 tháng 3 2020

\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\ge\left(1+\sqrt{\frac{x.y}{x}}\right)^2=\left(1+\sqrt{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\left[\left(1+\sqrt{y}\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)\right]^2\ge\left(1+3\right)^4=256\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}y=9\\x=3\end{matrix}\right.\)