Bất đẳng thức chọn HSG nhé
Cho x\(\ge\)0,y\(\ge\)0,z\(\ge\)0 và x+y+x=1.Chứng minh rằng xy+yz+xz-2xyz\(\le\)\(\frac{7}{27}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 3 2018
1 slot tối làm cho :))
Bài này trích trong đề thi HSG Toán 9 tỉnh Thanh Hóa
18 tháng 3 2018
Như đã hứa,giờ làm cho :))
BĐT\(\Leftrightarrow\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{x+z}\ge\frac{3}{2}\).Đặt \(\frac{x}{y}=a>0;\frac{y}{z}=b>0\)\(\Rightarrow ab=\frac{x}{z}\ge1\)
Ta có BĐT:\(\frac{1}{\frac{y^2}{xz}+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{xz}{y^2}+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\).Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có:
\(\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a+b}\).Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a+b}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}\)(*).Thật vậy:
(*)\(\Rightarrow\frac{a+b}{2ab+a+b}\ge\frac{2}{a+b+2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b+2\right)\ge2\left(2ab+a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Nên \(\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}+\frac{1}{ab+1}\)\(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}+\frac{4}{4+\left(a+b\right)^2}\)
Đặt \(m=a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\).Ta cần chứng minh:\(\frac{2m}{m+2}+\frac{4}{4+m^2}\ge\frac{3}{2}\)(**).Thật vậy
(**)\(\Leftrightarrow\frac{2m}{m+2}+\frac{3m^2+4}{2m^2+8}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{2m\left(2m^2+8\right)-\left(m+2\right)\left(3m^2+4\right)}{\left(m+2\right)\left(2m^2+8\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m-2\right)^3}{\left(m+2\right)\left(2m^2+8\right)}\ge0\) đúng với mọi \(m\ge2\)
Vậy BĐT đã được chứng minh.Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi x=y=z
LH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2018
Lời giải:
Vế đầu tiên:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(xy+yz+xz=(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{xy.yz.xz}=9xyz\)
\(9xyz\geq 2xyz\) với mọi $x,y,z\geq 0$
Do đó: \(xy+yz+xz\geq 2xyz\Rightarrow xy+yz+xz-2xyz\geq 0\)
Ta có đpcm.
Vế thứ hai
Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có (hoặc bạn có thể cm BĐT quen thuộc này bằng AM-GM ngược dấu)
\(xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\)
\(\Leftrightarrow xyz\geq (1-2z)(1-2x)(1-2y)\)
\(\Leftrightarrow xyz\geq 4(xy+yz+xz)-2(x+y+z)+1-8xyz=4(xy+yz+xz)-1-8xyz\)
\(\Rightarrow 9xyz\geq 4(xy+yz+xz)-1\Rightarrow xyz\geq \frac{4}{9}(xy+yz+xz)-\frac{1}{9}\)
Do đó:
\(xy+yz+xz-2xyz\leq xy+yz+xz-2\left(\frac{4}{9}(xy+yz+xz)-\frac{1}{9}\right)=\frac{xy+yz+xz+2}{9}(*)\)
Mà theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
\(1=(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{xy+yz+xz+2}{9}\leq \frac{\frac{1}{3}+2}{9}=\frac{7}{27}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}\) (đpcm)
7 tháng 3 2021
Dễ dàng chứng minh được:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)
Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)
Chứng mih tương tự, ta được;
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)
Từ (3), (4), (5), ta được:
\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
7 tháng 3 2021
Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:
\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)
Từ (2) và (6), ta được:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
VL
2
27 tháng 8 2018
Vì x;y;z >0
Nên áp dụng BĐT Cô-Si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\Rightarrow\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\Rightarrow\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\)
CỘng vế theo vế ta được: \(\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2x+2y+2z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
P/s: sai sót xin bỏ qua cho
TN
27 tháng 8 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Từ đó suy ra
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
AJ
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2020
Bài này x;y;z phải dương chứ nhỉ? Có dấu "=" ở số 0 thế kia thì bối rối quá
Dự đoán dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn tồn tại 2 số nằm cùng phía so với \(\frac{1}{2}\) ; giả sử đó là x và y
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y\right)-xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow x+y-2xy\le\frac{1}{2}\)
Mặt khác:
\(1=2xyz+x^2+y^2+z^2\ge2xyz+2xy+z^2=2xy\left(1+z\right)+z^2\)
\(\Rightarrow1-z^2\ge2xy\left(1+z\right)\Leftrightarrow\left(1-z\right)\left(1+z\right)\ge2xy\left(1+z\right)\)
\(\Leftrightarrow1-z\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1-z}{2}\)
\(\Rightarrow P=xy+z\left(x+y-2xy\right)\le\frac{1-z}{2}+\frac{z}{2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
KN
14 tháng 4 2020
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2021
Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:
1.
\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)
\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
2.
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
0\le xy+yz+zx-2xyz\le \frac{7}{27} - Diễn đàn Toán học