Cho m là số tự nhiên lẻ. CMR : \(m^{2^n}\)- 1 chia hết cho \(2^{n+2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
8 tháng 1 2021
Ta có: \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\Rightarrow m^2n^2+2\left(m^2+n^2+2\right)⋮mn\)
Dễ có \(m^2n^2⋮mn\)nên \(2\left(m^2+n^2+2\right)⋮mn\)
Mà m,n lẻ nên mn lẻ hay \(\left(mn,2\right)=1\)suy ra \(m^2+n^2+2⋮mn\)(*)
Ta có đánh giá rằng số chính phương lẻ thì chia 4 dư 1 (Thật vậy xét các trường hợp 4k + 1 và 4k + 3)
\(\Rightarrow\)m2, n2 chia 4 dư 1 \(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(m^2+n^2+2⋮4mn\)(Do \(\left(mn,4\right)=1\))
27 tháng 1 2019
a)Nếu n là số lẻ thì n^2 là số lẻ,n^2+n là số lẻ,n^2+n+1 là số chẵn
Nếu n là số chẵn thì n^2 là số chẵn,n^2+n là số chẵn,n^2+n+1 là số lẻ(đề ghi sai)
MC
27 tháng 1 2019
a, Nếu n là số lẻ thì \(n^2\) lẻ suy ra \(n^2+n\) chẵn (lẻ cộng lẻ ra chẵn nha bạn)
suy ra \(n^2+n+1\) lẻ
Nếu n là số chẵn thì \(n^2\) chẵn suy ra \(n^2+n\) chẵn (chẵn cộng chẵn vẫn ra chẵn nha bạn)
suy ra \(n^2+n+1\) lẻ
HN
1
20 tháng 10 2020
Nếu \(m,n\)cùng tính chẵn lẻ thì \(m+n⋮2\Rightarrow mn\left(m+n\right)⋮2\)
Nếu trong \(m,n\)có một số chẵn, một số lẻ (giả sử \(m\)chẵn) thì \(mn⋮2\)\(\Rightarrow mn\left(m+n\right)⋮2\)
Vậy \(mn\left(m+n\right)⋮2\forall m,n\inℕ\)
NQ
0
PQ
1
13 tháng 5 2019
\(M=n^6-n^4-n^2+1=n^4\left(n^2-1\right)-\left(n^2-1\right)=\left(n^2-1\right)\left(n^4-1\right)=\left(n^2-1\right)^2\left(n^2+1\right)=\)
\(=\left(n-1\right)^2\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\) Theo giae thiết n = 2t + 1 (Là số tự nhiên lẻ) với t là số tự nhiên. Do đó:
\(M=\left(2t+1-1\right)^2\left(2t+1+1\right)^2.[\left(2t+1\right)^2+1]=4t^2.4\left(t+1\right)^2.[4t^2+4t+2].\)
\(M=32.[t\left(t+1\right)]^2.[2t^2+2t+1]\) Ta có t(t + 1) là số chẵn (Là tích hai số tự nhiên liên tiếp) bình phương của số đó chia hết cho 4 cho nên M chia hết cho 128 ( 128 = 32 x 4).
CL
19 tháng 6 2023
Để chứng minh rằng m và n là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau, ta cần thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Giả sử rằng m và n là hai số tự nhiên thỏa mãn m^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho mn.
Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng m và n là hai số lẻ.
Giả sử rằng m là số chẵn, tức là m = 2k với k là một số tự nhiên. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có:
(2k)^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn
Simplifying the equation, we get:
4k^2 - 2020n^2 + 2022 chia hết cho 2kn
Dividing both sides by 2, we have:
2k^2 - 1010n^2 + 1011 chia hết cho kn
Do 2k^2 chia hết cho kn, vì vậy 2k^2 cũng chia hết cho kn. Từ đó, 1011 chia hết cho kn.
Bởi vì 1011 là một số lẻ, để 1011 chia hết cho kn, thì kn cũng phải là một số lẻ. Vì vậy, n cũng phải là số lẻ.
Do đó, giả sử m là số chẵn là không hợp lệ. Vậy m phải là số lẻ.
Bước 3: Chứng minh rằng m và n là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giả sử rằng m và n không phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Điều đó có nghĩa là tồn tại một số nguyên tố p chia hết cả m và n.
Vì m là số lẻ, n là số lẻ và p là số nguyên tố chia hết cả m và n, vì vậy p không thể chia hết cho 2.
Ta biểu diễn m^2 - 2020n^2 + 2022 dưới dạng phân tích nhân tử:
m^2 - 2020n^2 + 2022 = (m - n√2020)(m + n√2020)
Vì p chia hết cả m và n, p cũng phải chia hết cho (m - n√2020) và (m + n√2020).
Tuy nhiên, ta thấy rằng (m - n√2020) và (m + n√2020) không thể cùng chia hết cho số nguyên tố p, vì chúng có dạng khác nhau (một dạng có căn bậc hai và một dạng không có căn bậc hai).
Điều này dẫn đến mâu thuẫn, do đó giả sử ban đầu là sai.
Vậy ta có kết luận rằng m và n là hai số tự nhiên lẻ và nguyên tố cùng nhau.
Hình như thiếu đề nên cho cả n là số tự nhiên khác 0 nữa.
Xét n = 1 thì ta có:
\(m^2-1=\left(2x+1\right)^2-1=4\left(x^2+x\right)⋮8\)
Giả sử nó đúng tới n = k
\(\Rightarrow m^{2^k}-1=a.2^{k+2}=ay\)
\(\Rightarrow m^{2^k}=ay+1\)
Ta chứng minh nó đúng với n = k + 1
Hay \(\Rightarrow m^{2.2^k}-1⋮2^{k+2+1}\)
\(\Rightarrow\left(ay+1\right)^2-1⋮2y\)
Ta có: \(\left(ay+1\right)^2-1=a^2y^2+2ay\)
Mà \(\hept{\begin{cases}a^2y^2⋮2y\\2ay⋮2y\end{cases}}\)(do y là số chẵn)
\(\Rightarrow\)Nó đúng với n = k + 1.
Vậy theo quy nạp ta có điều phải chứng minh.