Question

[Nguyễn Ngọc Quỳnh Chi]

Bài 3: ChoABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Lấy E, F là hình chiếu của H trên AB, AC.

1. (1đ) CMR: AE. AB = AF. AC?

2. (1đ) CMR: AE2 = AF. FC?

3. (1đ) Cho I là giao điểm của EF và BC. CMR: IE. IF = IB. IC?

4. (0.5đ) Trung tuyến AM của ABC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt BC tại K. CMR: KH. KM = KB. KC

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

1/

Xét tg vuông ABH có

\(AH^2=AE.AB\)  (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông ACH có

\(AH^2=AF.AC\)  (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\) (cùng bằng \(AH^2\) )

2/

\(HE\perp AB\) (gt)

\(AC\perp AB\) (gt) \(\Rightarrow AF\perp AB\)

=> AF//HE (cùng vuông góc với AB) (1)

Ta có

\(HF\perp AC\) (gt)

\(AB\perp AC\) (gt) \(\Rightarrow AE\perp AC\)

=> AE//HF (cùng vuông góc với AC) (2)

Từ (1) và (2) => AEHF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hình bình hành )

=> AE = HF

Xét tg vuông AHC có

\(HF^2=AF.FC\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE^2=AF.FC\)

3/

E; F cùng nhìn AH dưới góc \(90^o\)

=> AEHF là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{EFH}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EH) (1)

\(\widehat{AEF}=\widehat{EFH}\) (góc so le trong) (2)

\(\widehat{AEF}=\widehat{IEB}\) (góc đối đỉnh) (3)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) ) (4)

Xét tg IBE và tg IFC có

Từ (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow\widehat{IEB}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{EIB}\) chung

=> tg IBE đồng dạng với tg IFC (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{IE}{IC}=\dfrac{IB}{IF}\Rightarrow IE.IF=IB.IC\)

4/

Ta có

\(\widehat{BAK}+\widehat{BAM}=\widehat{MAK}=90^o\)

\(\widehat{CAM}+\widehat{BAM}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAK}=\widehat{CAM}\)

Mà \(AM=\dfrac{BC}{2}=MB=MC\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMC cân tại M \(\Rightarrow\widehat{CAM}=\widehat{ACM}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{BAK}\)

Xét tg ABK và tg ACK có

\(\widehat{AKC}\) chung

\(\widehat{BAK}=\widehat{ACM}\) (cmt)

=> tg ABK đồng dạng với tg ACK (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{KB}{AK}=\dfrac{AK}{KC}\Rightarrow AK^2=KB.KC\)

Xét tg vuông AKM có

\(AK^2=KH.KM\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow KH.KM=KB.KC\)