Help me, will you?1. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức \(P=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)2. Cho đa thức \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\) \(\left(a,b,c\in R\right).\) Biết \(P\left(x\right)>0\) với mọi x thuộc R.Chứng minh rằng \(\frac{5a+b+3c}{a-b+c}>1\)3. Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên n để \(A=n^4+4n^{p+1}\) là một số chính...
Đọc tiếp
Help me, will you?
1. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức \(P=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
2. Cho đa thức \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\) \(\left(a,b,c\in R\right).\) Biết \(P\left(x\right)>0\) với mọi x thuộc R.
Chứng minh rằng \(\frac{5a+b+3c}{a-b+c}>1\)
3. Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên n để \(A=n^4+4n^{p+1}\) là một số chính phương.
2, 5a+b+3c/a-b+c>1 <=> a-b+c+4a+2b+2c/a-b+c>1
<=>4a+2b+2c/a-b+c > 0 (1)
xét P(2)=4a+2b+c>0,P(-1)=a-b+c>0 (do P(x)>0 với mọi x)
=>P(2)/P(-1)>0 => (1) đúng =>đpcm
3, hóng cao nhân
-đề chuyên LQĐ
1,Bổ đề : (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) >= 3(a^2b+b^2c+c^2a) (nhân bung rồi Cauchy từng cặp 2 số)
từ đó P <= (a+b+c)/3-(a+b+c)^2/9=x/3-x^2/9 (với x=a+b+c>0)=x/3-(x/3)^2=t-t^2(với t=a+b+c>0)=t(1-t)<=(t+1-t)^2/4=1/4
maxP=1/4,đạt tại a=b=c=1/2