Cho a,b,claf 3 số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}=2\)
Tìm GTLN của tích (a+b)(b+c)(c+a)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
25 tháng 10 2020
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
KN
26 tháng 10 2020
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
13 tháng 11 2017
\(b^4+c^4\ge\)\(b^3c+bc^3\) (bn tu cm nhé)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^4+c^4+a}\le\frac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a}=\frac{abc}{b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+abc}=\frac{1}{b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+1}=\)
\(\frac{a^2b^2c^2}{b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+a^2b^2c^2}=\frac{a^2b^2c^2}{b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
ttu \(T\le\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\) dau = xay ra khi va chi khi a=b=c=1
Theo đề bài thì ta có:
\(\frac{1}{a+b+1}=1-\frac{1}{b+c+1}+1-\frac{1}{c+a+1}=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\)
\(\ge2.\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c+1}\ge2.\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(c+a+1\right)}1}\left(2\right)\\\frac{1}{c+a+1}\ge2.\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(\frac{1}{a+b+1}.\frac{1}{b+c+1}.\frac{1}{c+a+1}\ge8.\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{8}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
sao khó hiểu vậy