Cho abc=1.Cm a/(ab+a+1)^2+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1)>=1/(a+b+c).Đẳng thức xảy ra khi nào
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AS
0
KN
12 tháng 6 2020
Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:
\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
S
23 tháng 5 2017
\(VT=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}{2}\)
Tượng tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{c+a}\right)+\left(\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+b}\right)}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{b+c}{b+c}}{2}=\frac{3}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
DT
1
10 tháng 11 2019
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{abc^2}{ab}}=2c\)
Tương tự và cộng lại có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay tam giác đều
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2020
\(VT\le\frac{1}{2\sqrt{a^2bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2ab}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab.ac}}+\frac{1}{\sqrt{ab.bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac.bc}}\right)\)
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
VT
29 tháng 12 2017
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có \(M^2\le3\left(\frac{a}{b+c+2a}+...\right)\)
mà \(\frac{a}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
tương tự, ta có \(M^2\le\frac{3}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{9}{4}\)
=>\(M\le\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c