K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 6

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\([(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2](1^2+1^2)\geq (a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^2=(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\)

\(\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\)

Tiếp tục áp dụng BDDT Bunhiacopxky:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}=4$

\(\Rightarrow (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\geq \frac{1}{2}(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\geq \frac{1}{2}(1+4)^2=12,5\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

3 tháng 10 2019

https://hoc24.vn/id/2782086

3 tháng 10 2019

@Nguyễn Việt Lâm

8 tháng 5 2017

Câu 2 thế y = 1 - x rồi quy đồng như bình thường là ra bn nhé

NV
13 tháng 7 2020

\(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(VT=\frac{x^2yz}{1+yz}+\frac{xy^2z}{1+zx}+\frac{xyz^2}{1+xy}=\frac{x^2yz}{xy+yz+yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx+yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz+xy+zx}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2yz}{xy+yz}+\frac{x^2yz}{yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx}+\frac{xy^2z}{yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz}+\frac{xyz^2}{xy+zx}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{yz^2}{y+z}+\frac{x^2z}{x+z}+\frac{xz^2}{x+z}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

7 tháng 1 2018

C, d của VT đâu b

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019

Lời giải:

Biểu thức có GTLN chứ không có GTNN bạn nhé. Nếu tìm GTLN thì làm như sau:
\(a+b+c=abc\)

\(\Rightarrow a(a+b+c)=a^2bc\)

\(\Rightarrow a(a+b+c)+bc=a^2bc+bc\)

\(\Rightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)\)

\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\) (theo BĐT AM-GM)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

\(\frac{b}{\sqrt{ca(1+b^2)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)

Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ca(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy GTLN là $\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

31 tháng 7 2019

hại não thật:( này giờ em tìm gtnn ko ra:(

NV
11 tháng 2 2020

Với \(a=b=c=10\) hiển nhiên BĐT sai

Thôi rồi viết thiếu đề bài

abcd=1 nha các bạn ahihi

1 tháng 8 2020

Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)

Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\)\(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)

Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)

\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:

27 tháng 7 2020

1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)

\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)

bài 2 xem có ghi nhầm ko