K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 6 2015

\(\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\)

=> điều phải chứng minh

8 tháng 10 2017

\(\left(a+b+c\right)^2+12=4\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca\\ \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+12=4a+4b+4c\\ \Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)+\left(c^2-4c+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=2\left(dpcm\right)\)

Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow a^2+b^2-ab\ge ab\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}\le\dfrac{1}{ab}=\dfrac{abc}{ab}=c\) ( do $abc=1$ )

Tương tự ta có :

\(\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}\le a\)

\(\dfrac{1}{c^2-ab+a^2}\le b\)

Cộng vế với vế các BĐT trên có :

\(\dfrac{1}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{1}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{1}{c^2-ac+a^2}\le a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

NV
10 tháng 3 2021

\(VT=\dfrac{1}{a^2+b^2-ab}+\dfrac{1}{b^2+c^2-bc}+\dfrac{1}{c^2+a^2-ca}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2ab-ab}+\dfrac{1}{2bc-bc}+\dfrac{1}{2ca-ca}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

1 tháng 1 2017

Vi a^2+b^2+c^2=1 
=>-1=<a,b,c=<1 
=>(1+a)(1+b)(1+c)>=0 
=>1+abc+ab+bc+ca+a+b+c>=0 (1*) 
Lại có (a+b+c+1)^2/2>=0 
=>[a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca 
]/2>=0 
=>[2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca]/2>=0 (Thay a^2+b^2+c^2=1) 
=>1+a+b+c+ab+bc+ca>=0 (2*) 
tu (1*)(2*) ta co abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0 
dau = xay ra <=>a+b+c=-1 va a^2+b^2+c^2=1 
<=>a=0,b=0,c=-1 va cac hoan vi cua no

1 tháng 1 2017

Vì a^2+b^2+c^2=1 
=>-1=<a,b,c=<1 
=>(1+a)(1+b)(1+c)>=0 
=>1+abc+ab+bc+ca+a+b+c>=0 (1*) 
Lại có (a+b+c+1)^2/2>=0 
=>[a^2+b^2+c^2+1+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca 
]/2>=0 
=>[2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca]/2>=0 (Thay a^2+b^2+c^2=1) 
=>1+a+b+c+ab+bc+ca>=0 (2*) 
tu (1*)(2*) ta co abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)>=0 
dau = xay ra <=>a+b+c=-1 va a^2+b^2+c^2=1 
<=>a=0,b=0,c=-1 và các hoan vi của nó

14 tháng 3 2018

Do: \(a^2+b^2+c^2=1\text{ nen }a^2\le1,b^2\le1,c^2\le1\)

\(\Rightarrow a\ge-1;b\ge-1;c\ge-1\)

\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge0\)

Cần C/m:

\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)

Ta có: 

\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca+abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\)

=> ĐPCM

14 tháng 3 2018

Bấm vào câu hỏi tương tự 

hoặc lên Học24h