cho a+b+c>0,abc>0,ab+bc+ac>0 chứng minh rằng a>0,b>0,c>0
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề đúng: Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c>0; ab+bc+ac>0; abc>0. Chứng minh a,b,c>0
Vì abc>0 nên có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Vai trò của a, b, c như nhau nên chọn a>0
TH1: b<0;c<0
\(\Rightarrow b+c>-a\Rightarrow\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2< -ab-ac\)
\(\Rightarrow b^2+bc+c^2< -\left(ab+bc+ca\right)\)(vô lí)
TH2: b>0, c>0 thì a>0( luôn đúng)
Vậy a, b, c >0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì abc>0 nên có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Vai trò của a, b, c như nhua nên chọn a>0
TH1: b<0;c<0 \(\Rightarrow b+c>-a\Rightarrow\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\\ \Rightarrow b^2+c^2+2bc< -ab-ac\\ bc+ab+ac< -b^2-c^2-bc=-\left(b^2+c^2+a^2\right)< 0\)(trái với giả thiết)
\(\Rightarrow\)TH2: b>0, c>0 thì a>0( luôn đúng)
Vậy a, b, c >0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: abc > 0 nên xảy ra 2 trường hợp hoặc là a,b,c đều dương (bài toán được chứng minh) hoặc trong 3 số sẽ có 2 số âm 1 số dương.
Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(\hept{\begin{cases}a< 0\\b< 0\\c>0\end{cases}}\)
Ta đặt: \(\hept{\begin{cases}a=-x\left(x>0\right)\\b=-y\left(y>0\right)\end{cases}}\) thì theo đề bài ta có
\(\hept{\begin{cases}c-x-y>0\\xy-cx-xy>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c>x+y\left(1\right)\\xy>cx+cy\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1) ta có thể suy ra được: \(\hept{\begin{cases}cx>x^2+xy\\cy>y^2+xy\end{cases}}\)
\(\Rightarrow cx+cy>x^2+2xy+y^2\left(3\right)\)
Từ (2) và (3) ta có: \(xy>cx+cy>x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow0>x^2+xy+y^2\) (sai)
Từ đây ta thấy rằng chỉ có trường hợp \(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\\c>0\end{cases}}\) là đúng
Rõ rảng abc > 0 nên a,b,c phải khác 0
+ Giả sử trong a,b,c có 1 số bé hơn 0,vì vai trò a,b,c như nhau giả sử là a ta có
a < 0 ,do abc > 0 => bc < 0 do a(b + c) + bc > 0 => a(b + c) > -bc hay a(b + c) > 0 do a < 0 => b + c < 0
=> a + b + c < 0 mâu thuẫn với 1 giả thiết a + b + c > 0
+ Giả sử có 2 số nhỏ hơn không,tương tự giả sử là a và b ta có
a + b + c > 0 => c > 0 => abc < 0 mâu thuẫn
+ còn a,b,c đều nhỏ hơn 0 thì hiển nhiên a + b + c < 0 mâu thuẫn với a + b + c > 0
Vậy bất buộc cả 3 a,b,c đều phải đồng thời lớn hơn 0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
-C/m bằng phép biến đổi tương đương:
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}{abc}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-2bc+c^2\right)+b^2\left(c^2-2ca+a^2\right)+c^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(b-c\right)^2+b^2\left(c-a\right)^2+c^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
+TH1: có 1 số < 0 là a, 2 số lớn hơn 0 là b,c
=> bc > 0 mà a < 0
=> abc < 0 (trái giả thiết) => không tồn tại trường hợp này.
+TH2: 2 số <0 là b,c ; 1 số lớn hơn 0 là a.
=> bc > 0; b+c < 0; a > 0
a+b+c > 0 => a > -(b+c) > 0 => a.(b+c) < -(b+c).(b+c) (nhân cả 2 vế với 1 số < 0 là (b+c) nên đổi chiều)
=> ab+bc+ca=a(b+c) + bc < -(b+c)2 + bc = -(b2+c2+bc) < 0 (do b2,c2,bc > 0) => trái giả thiết => không tồn tại trường hợp này.
+TH3: a,b,c < 0
=>abc < 0 => trái giả thiết => không tồn tại trường hợp này.
Vậy: a,b,c > 0
sao th2 k suy ra ab>0 và c<0 nên abc<0 luôn