Dùng hệ thức truy hồi
Tìm đa thức f(x) với hệ số nguyên, biết đa thức đó nhận \(a=\sqrt[4]{\dfrac{3}{4}}+\sqrt[4]{\dfrac{4}{3}}\) làm nghiệm
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TC
22 tháng 5 2022
ta có : \(P\left(\dfrac{-3}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{3}{2}\right)^3-a.\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2-2\cdot\dfrac{-3}{2}+4=0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{27}{8}-\dfrac{9}{4}a+3+4=0\)
\(\Leftrightarrow\cdot\dfrac{9}{4}a=-\dfrac{27}{8}-3-4=-16\)
\(=>a=-16:\dfrac{9}{4}=-\dfrac{64}{9}\)
3 tháng 10 2018
bài 1 : a) ta có : \(a=\sqrt{2}+\sqrt{7\sqrt[3]{61+46\sqrt{5}}}+1=\sqrt{2}+\sqrt{7\sqrt[3]{\left(1+2\sqrt{5}\right)^3}}+1\)
\(=\sqrt{2}+\sqrt{7+14\sqrt{5}}+1\)
ta có : \(a^4-14a^2+9=0\Leftrightarrow\left(a^2\right)-14a^2+9=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2=7+2\sqrt{10}\\a^2=7-2\sqrt{10}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=89+28\sqrt{10}\\a=89-28\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) đề sai
sữa đề rồi mk sẽ lm .
bài 2 : a) ta có : \(a=\dfrac{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}}{\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}+1\right)^3}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-3}=\sqrt{2}+1\)
+) ta có phương trình bật nhất thì chắc chắn không được .
+) phương trình bậc 2 : số liên hợp có tổng nguyên của nó là : \(1-\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)=1-2=-1\) và \(1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=2\)
theo vi ét đảo \(\Rightarrow\) \(1+\sqrt{2}\) và \(1-\sqrt{2}\) là nghiệm của \(X^2-2X-1=0\)
b) ta có : \(3x^6+4x^5-7x^4+6x^3+6x^2+x-53\sqrt{2}\)
\(=3x^6-6x^5-3x^4+10x^5-20x^4-10x^3+16x^4-32x^3-16x^2+48x^3-96x^2-48x+118x^2+49x+58\sqrt{2}\)
\(=3x^4\left(x^2-2x-1\right)+10x^3\left(x^2-2x-1\right)+16x^2\left(x^2-2x-1\right)+48x\left(x^2-2x-1\right)+118x^2+49x+58\sqrt{2}\)
\(=118a^2+49a+58\sqrt{2}\)
\(=118\left(1+\sqrt{2}\right)^2+49\left(1+\sqrt{2}\right)+58\sqrt{2}\)
\(=118\left(3+2\sqrt{2}\right)+49+49\sqrt{2}+58\sqrt{2}\)
\(=403+343\sqrt{2}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
17 tháng 9 2023
a) \(\begin{array}{l}P(x) = {x^2}({x^2} + x + 1) - 3x(x - a) + \dfrac{1}{4} = {x^4} + {x^3} + {x^2} - 3{x^2} + 3ax + \dfrac{1}{4}\\ = {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 3ax + \dfrac{1}{4}\end{array}\).
b) Các hệ số có trong đa thức P(x) là: 1; 1; – 2; 3a; \(\dfrac{1}{4}\).
Tổng các hệ số bằng \(\dfrac{5}{2}\)hay:
\(\begin{array}{l}1 + 1 - 2 + 3a + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{2}\\ \to 3a = \dfrac{9}{4}\\ \to a = \dfrac{3}{4}\end{array}\)
Vậy \(a = \dfrac{3}{4}\).
Xét f(x) là hằng số thì \(f\left(x\right)\equiv0\).
Xét f(x) khác hằng.
Ta có \(a^2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}+2\Rightarrow a^2-2=\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\sqrt{\dfrac{4}{3}}\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{3}+2=\dfrac{49}{12}\Rightarrow a^4-4a^2-\dfrac{1}{12}=0 \).
Bằng cách đồng nhất hệ số, dễ dàng chứng minh được đa thức \(P\left(x\right)=x^4-4x^2-\dfrac{1}{12}\) bất khả quy trên \(\mathbb{Q}[x]\).
Do đó ta có P(x) là đa thức tối tiểu của a, tức mọi đa thức hệ số hữu tỉ khác nhận a là nghiệm đều chia hết cho P(x).
Vì f(x) là đa thức hệ số nguyên nên \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(12P\left(x\right)=12x^4-48x^2-1\).
Vậy \(f\left(x\right)=K\left(x\right)\left(12x^4-48x^2-1\right)\), với \(K\in\mathbb Z[x]\) bất kì.