cho a,b,c >0 và 1/1+a +1/1+b +1/1+c =2 tìm giá trị lớn nhất của abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HK
0
23 tháng 10 2016
bài 5 nhé:
a) (a+1)2>=4a
<=>a2+2a+1>=4a
<=>a2-2a+1.>=0
<=>(a-1)2>=0 (luôn đúng)
vậy......
b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:
a+1>=\(2\sqrt{a}\)
tương tự ta có:
b+1>=\(2\sqrt{b}\)
c+1>=\(2\sqrt{c}\)
nhân vế với vế ta có:
(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)
<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)
<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)
vậy....
T
1
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
20 tháng 7 2023
\(P=\dfrac{1}{abc}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{a+b+c}{abc}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(1\right)\)
\(\)\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ac}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
mà \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{17}{2.\dfrac{1}{3}}=9+\dfrac{17.3}{2}=\dfrac{18+17.3}{2}=\dfrac{69}{2}\)
\(\Rightarrow Min\left(P\right)=\dfrac{69}{2}\)
KN
6 tháng 10 2020
Vi a + b + c = 1 nên bt tương đương với \(P=abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta có : \(P=abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)( 1 )
Mặt khác :\(\left(ab+bc+ca\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}.\frac{1}{27}=\frac{1}{81}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3
Vậy maxP = 1/81 <=> a = b = c = 1/3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 1 2022
Bài 1: Ta có:
\(M=\frac{ad}{abcd+abd+ad+d}+\frac{bad}{bcd.ad+bc.ad+bad+ad}+\frac{c.abd}{cda.abd+cd.abd+cabd+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
\(=\frac{ad}{1+abd+ad+d}+\frac{bad}{d+1+bad+ad}+\frac{1}{ad+d+1+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
$=\frac{ad+abd+1+d}{ad+abd+1+d}=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 1 2022
Bài 2:
Vì $a,b,c,d\in [0;1]$ nên
\(N\leq \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{abcd+1}+\frac{c}{abcd+1}+\frac{d}{abcd+1}=\frac{a+b+c+d}{abcd+1}\)
Ta cũng có:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$
Tương tự:
$c+d\leq cd+1$
$(ab-1)(cd-1)\geq 0\Rightarrow ab+cd\leq abcd+1$
Cộng 3 BĐT trên lại và thu gọn thì $a+b+c+d\leq abcd+3$
$\Rightarrow N\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}=\frac{3(abcd+1)-2abcd}{abcd+1}$
$=3-\frac{2abcd}{abcd+1}\leq 3$
Vậy $N_{\max}=3$
Điều kiện đã cho
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\left(1-\dfrac{1}{1+b}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{b+c+2bc}{bc+b+c+1}\)
\(\Leftrightarrow bc+b+c+1=b+c+2bc+ab+ac+2abc\)
\(\Leftrightarrow2abc+ab+bc+ca=1\)
Mà \(ab+bc+ca\ge3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2\)
\(\Rightarrow2abc+3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2\le1\)
Đặt \(\sqrt[3]{abc}=t\left(t\ge0\right)\), khi đó \(2t^3+3t^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(2t-1\right)\le0\)
Do \(\left(t+1\right)^2\ge0\) nên \(2t-1\le0\) \(\Leftrightarrow t\le\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)