Chứng minh rằng 2100 là số có 31 chữ soô khi viết theo kết quả của nó trong số thập phân
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
2^100 = ﴾2^10﴿^10 = 1024^10
10^30 = ﴾10^3﴿^10 = 1000^10
Vì 1024^10 > 1000^10 nên 2^100 > 10^30 ﴾1﴿
Lại có:
2^100 = 2^31.2^63.2^6 = 2^31.512^7.64
và 10^31 = ﴾2.5﴿^31 = 2^31.5^31 = 2^31.5^28.5^3 = 2^31.625^7.125
Vì 2^31.512^7.64 < 2^31.625^7.125 nên 2^100 < 10^31﴾2﴿
Từ ﴾1﴿ và ﴾2﴿ => 2^100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số
Vậy số 2^100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số ﴾đpcm﴿
NHỚ TK MK NHA,MK ĐANG ÂM ĐIỂM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
+) 95 < 100 => 958 < 1008 = (102)8 = 1016 (*)
+) Xét tỉ số: \(\frac{95^8}{10^{15}}=\frac{95^8.10}{10^{16}}=\left(\frac{95}{100}\right)^8.10\)
Ta có: \(\left(\frac{95}{100}\right)^8>\left(\frac{90}{100}\right)^8=\left(\frac{9}{10}\right)^8>\frac{9}{10}.\frac{8}{9}.\frac{7}{8}...\frac{2}{3}=\frac{2}{10}>\frac{1}{10}\)
=> \(\frac{95^8}{10^{15}}=\left(\frac{95}{100}\right)^8.10>\frac{1}{10}.10=1\)
=> 958 > 1015 (**)
(*)(**) => 1015 < 958 < 1016
=> 958 là số có 16 chữ số
Em có cách làm khác:
Giải.Số tự nhiên nhỏ nhất có 16 chữ số là 1015,số tự nhiên nhỏ nhất có 17 chữ số là 1016.Ta cần chứng minh rằng :
1015<958<1016
Dễ thấy 958<1008=1016,còn phải chứng minh 1015<985.Bất đẳng thức này tương ứng với\(\frac{10^{15}}{95^8}
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có: \(10^{29}< 96^{15}< 100^{15}=10^{30}\)
=> \(96^{15}\)có 30 chữ số trong hệ thập phân
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để ý rằng 4^5 = 1024 nên ta có : 10^3 < 4^5 < 11.10^2
---> 10^15 < 4^25 < (11^5).10^10 < 200000.10^10 = 2.10^15
---> 10^30 < 4^50 < 4.10^30 < 10^31 ---> 4^50 có 31 chữ số.
---> 4^50 = m.10^30 (với 1 < m < 4)
Lại để ý rằng (4^50)(25^50) = 100^50 = 10^100
---> 25^50 = 10^100 / 4^50 = (10.10^99) / (m.10^30) = (10/m).10^69
Vì 1 < m < 4 ---> 2,5 < 10/m < 10
---> 25^50 = (10/m).10^69 có 70 chữ số.
---> Đáp án bài này là 31 + 70 = 101 chữ số.
k cho mình nhé chép mạng đó
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tham khảo bài của https://olm.vn/thanhvien/vocaloid_miku
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: 1008 = 100000...000 (17 chữ số)
Mà 95 < 100 nên 958 < 1008
=> 958 có 16 chữ số
Ta có:
2100 = (210)10 = 102410
1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (1)
Lại có:
2100 = 231.263.26 = 231.5127.64
và 1031 = (2.5)31 = 231.531 = 231.528.53 = 231.6257.125
Vì 231.5127.64 < 231.6257.125 nên 2100 < 1031 (2)
Từ (1) và (2) => 2100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số
Vậy số 2100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số (đpcm)