Cho a+b+c=0
CMR: (a+b+c)4=2(ab+bc+ac)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 1 2022
nhân cả vế với abc ta có điều cần chứng minh
\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)
VT\(\ge\)\(\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{bc+ac+ab}{2}\)
=>(đpcm)
mấu chốt nằm ở đoạn chứng minh\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
chỉ cần chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)sau đó áp dụng để chứng minh cái kia thôi cái này bạn thử tự chứng minh nhé
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 8 2021
\(\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2\sqrt{\dfrac{a^4b}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b^4c}{c}}+2\sqrt{\dfrac{c^4a}{a}}=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
7 tháng 8 2021
áp dụng AM GM ta có a^3/b+ab>=2a^2
chứng minh tương tự => a^3/b+b^3/c+c^3/a>=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)
mà ta có a^2+b^2+c^2>=(ab+bc+ca)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a>= ab+bc+ca
"=" xảy ra khi a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1 2023
Lời giải:
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$
$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$
Khi đó:
$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)=(1+1)(1+1)(1+1)=8$
Ta có đpcm.
4 tháng 8 2021
đặt biể thức cần chứng minh là P
\(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\left(b+c\right)^2}}{\dfrac{a\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{a}\)
\(t\)ương tự
\(=>P\ge\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}=\dfrac{[\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a+b+c}=\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c
7 tháng 7 2019
a) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-3ab-3ac-3bc=0\)
\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)
\(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)
Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)
b.
\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)
- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)
Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)
- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)
Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)
\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)
Áp dụng BĐT Schur:
\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)
\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))
HH
0
TN
10 tháng 8 2017
cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao
Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V
12 tháng 11 2017
tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M >=(a+b+c)/8
C
21 tháng 9 2019
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ac\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(ab+bc+ac\right)^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)
Mà \(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+abc\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\)
nên \(a^4+b^4+c^4=4\left(ab+bc+ac\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\left(đpcm\right)\)