K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 10 2018

Khoảng cách giữa 2 số lẻ liên tiếp là 2

Số lẻ đầu tiên là 1 thì số lẻ thứ n là:

             \(1+\left(n-1\right).2=2n-1\)

Khi đó: tổng n STN lẻ liên tiếp kể từ 1 là:

      \(1+3+5+...+\left(2n-1\right)\)

\(=\left(1+2n-1\right).n:2\)

\(=2n^2:2=n^2\)

Vậy tổng của n STN lẻ liên tiếp là số chính phương.

Chúc em học tốt.

2 tháng 7 2021

2. 

Gọi x;x+1;x+2;x+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp ( x\(\in\) N)

 Ta có : x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 

 =(  x2 + 3x ) (x2 + 2x + x +2 )  +1 

= (  x2 + 3x ) (x2 +3x + 2 ) +1  (*)

Đặt t = x2 + 3x  thì  (* ) =  t ( t+2 ) + 1=  t2 + 2t +1  =  (t+1) = (x2 + 3x + 1 )2

=>  x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1  là số chính phương 

hay tích 4 số tự nhiên liên tiếp  cộng  1 là số chính phương 

26 tháng 7 2016

mau lên các bạn!

14 tháng 8 2020

Đề bài : Chứng minh rằng tổng lập phương của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n bằng bình phương của tổng từ 1 đến n ( n tự nhiên ). Hay ta cần chứng minh : \(1^3+2^3+3^3+4^3+....+n^3=\left(1+2+....+n\right)^2\) (*)

Lời giải : 

+) Xét \(n=1\) thì ta có : \(1^3=1^2\) ( đúng ) 

Suy ra (*) đúng với \(n=1\) (1)

+) Xét \(n=2\) ta có : \(1^3+2^3=1+8=9\)\(\left(1+2\right)^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow1^3+2^3=\left(1+2\right)^2\) ( đúng ). Nên (*) đúng với \(n=2\) (2)

+) Giả sử (*) đúng với \(n=k\). Tức là : \(1^3+2^3+3^3+....+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\).

Ta cần chứng minh \(n=k+1\) cũng đúng với (*). Thật vậy , ta có :

\(1^3+2^3+3^3+.....+\left(k+1\right)^3\)

\(=1^3+2^3+....+k^3+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(1+2+3+....+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)

Xét biểu thức \(\left(k+1\right)^2+2.\left(k+1\right).\left(1+2+3+....+k\right)\)

\(=\left(k+1\right)^2+2.\left(k+1\right)\cdot\frac{\left(k+1\right).k}{2}\)

\(=\left(k+1\right)^2+\left(k+1\right)^2.k=\left(k+1\right)^3\)

Do đó \(1^3+2^3+....+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(1+2+3+....+k\right)^2+2.\left(k+1\right)\left(1+2+....+k\right)+\left(k+1\right)^2\)

\(=\left(1+2+3+....+k+k+1\right)^2\)

Vậy (*) đúng với \(n=k+1\) (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra \(1^3+2^3+3^3+4^3+....+n^3=\left(1+2+....+n\right)^2\) với mọi \(n\in N\).

Giả sử 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2(1)

Khi n=1 thì ta sẽ có 1^3=1^2(đúng)

Giả sử (1) đúng khi n=k

Khi n=2 thì ta sẽ có 1^3+2^3=9=(1+2)^2

Ta sẽ cần chứng minh (1) đúng khi n=k+1

1^3+2^3+...+n^3

=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3

=(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3

Xét biểu thức (k+1)^2+2(k+1)(1+2+...+k)

=(k+1)^2+2*(k+1)*k*(k+1)/2

=(k+1)^2*(1+k)=(k+1)^3

=>1^3+2^3+...+(k+1)^3

loading...

=>ĐPCM

a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương

Biến đổi phương trình ta có : 

\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :

TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)

TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)

TH1 :

\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)

\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )

Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương

b) Ta có : 

\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)

\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)

- Xét 2 trường hợp :

TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)

+) TH1 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )

+) TH2 :

Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )

13 tháng 4 2021

Cho mình hỏi ở chỗ câu b): Vì sao 2n-1=3p^2 và 2n+1=q^2 vậy ạ?

29 tháng 3 2015

Ta có:

1+2+3+...+2005≡(2005+1).2005:2≡2006.2005:2

 

≡1003.2005≡3.1≡3

(mod 4)

Vậy tổng của các số từ 1 đến 2005 có dạng 4k+3 (k∈N) nên không là số chính phương (đpcm)