K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 2 2016

đây là toán lớp 1 à bạn  , lớp 1 chưa học số mũ đâu nhé

26 tháng 3 2016

Đặt  \(A=\frac{c\left(ab+1\right)^2}{b^2\left(bc+1\right)}+\frac{a\left(bc+1\right)^2}{c^2\left(ca+1\right)}+\frac{b\left(ca+1\right)^2}{a^2\left(ab+1\right)}\)  và   \(x=ab+1;\)  \(y=bc+1;\)  \(z=ca+1\)   \(\left(\text{*}\right)\)

Khi đó, với các giá trị tương ứng trên thì biểu thức  \(A\)  trở thành:   \(A=\frac{cx^2}{b^2y}+\frac{ay^2}{c^2z}+\frac{bz^2}{a^2x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba phân số không âm của biểu thức trên (do  \(a,b,c>0\)), ta có:

 \(A=\frac{cx^2}{b^2y}+\frac{ay^2}{c^2z}+\frac{bz^2}{a^2x}\ge3\sqrt[3]{\frac{cx^2}{b^2y}.\frac{ay^2}{c^2z}.\frac{bz^2}{a^2z}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz}{abc}}\)  \(\left(\text{**}\right)\)

Mặt khác, do  \(ab+1\ge2\sqrt{ab}\)  (bất đẳng thức  AM-GM cho hai số \(a,b\) luôn dương)

              nên   \(x\ge2\sqrt{ab}\)  \(\left(1\right)\) (theo cách đặt ở  \(\left(\text{*}\right)\))

Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị   \(a\)  \(\rightarrow\)  \(b\)  \(\rightarrow\)  \(c\) và với chú ý cách đặt ở \(\left(\text{*}\right)\), ta cũng có:

\(y\ge2\sqrt{bc}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(z\ge2\sqrt{ca}\)  \(\left(3\right)\)

Nhân từng vế  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta được  \(xyz\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)

Do đó,  \(3\sqrt[3]{\frac{xyz}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=3\sqrt[3]{8}=6\)  \(\left(\text{***}\right)\)  

Từ  \(\left(\text{**}\right)\)  và  \(\left(\text{***}\right)\)  suy ra được   \(A\ge6\), tức  \(\frac{c\left(ab+1\right)^2}{b^2\left(bc+1\right)}+\frac{a\left(bc+1\right)^2}{c^2\left(ca+1\right)}+\frac{b\left(ca+1\right)^2}{a^2\left(ab+1\right)}\ge6\)  (điều phải chứng minh)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=1\)

26 tháng 3 2016

mới học lớp 5  thôi