K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 1 2017

\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\)

\(\frac{1}{5^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)\)

\(\frac{1}{\left(n-1\right)^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}\right)\)

\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(A< 1\)

8 tháng 12 2015

\(A<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=1-\frac{1}{n}<1\)

 

24 tháng 6 2018

Ta có : 

\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)

\(............\)

\(\frac{1}{n^2}< \frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(\Rightarrow\)\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(\Rightarrow\)\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(\Rightarrow\)\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow\)\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)

Vậy \(A< 1\)

Chúc bạn học tốt ~ 

14 tháng 1 2019

<or>or=<or>=

15 tháng 1 2019

Sửa đề : \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+......+\frac{1}{2^{199}}\)

\(\Rightarrow2A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+......+\frac{1}{2^{198}}\)

\(\Rightarrow2A-A=A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{199}}< \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Vậy \(A< \frac{3}{4}\)

4 tháng 1 2018

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)

\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(=1-\frac{1}{n}< 1\)( vì n \(\ge\)2 )

2 tháng 2 2019

Ta thấy rằng: \(2^2>1\times2\) , \(3^2>2\times3\),..., \(2011^2>2010\times2011\).

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+...+\frac{1}{2010\times2011}=\frac{2-1}{1\times2}+\frac{3-2}{2\times3}+...+\frac{2011-2010}{2010\times2011}\)\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}\)\(=1-\frac{1}{2011}< 1.\)

Vậy A < 1.

3 tháng 2 2019

Cảm ơn bạn

9 tháng 10 2016

Đặt \(B=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)

Ta có:

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\)\(< \)\(B=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\left(1\right)\) 

Mà \(B=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(=1-\frac{1}{n}< 1\left(2\right)\)(đúng. vì \(n\ge2\))

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A< B< 1\Rightarrow A< 1\)

 

2 tháng 12 2017

a) Ta có :

\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)

\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow\)A < 1 

b) \(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)

\(B=\frac{1}{2^2}.\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

vì \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}< 2-\frac{1}{n}< 2\)

\(\Rightarrow B< \frac{1}{2^2}.2=\frac{1}{2}\)

2 tháng 12 2017

cảm ơn nha!