Cho a,b>0 và a2 +b2 =1/2.Chứng minh \(\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 2 2020
Bài 1: Theo đề : \(2ab+6bc+2ac=7abc\) \(;a,b,c>0\)
Chia cả 2 vế cho \(abc>0\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)
Khi đó: \(M=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)
\(\Rightarrow M=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)
\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)
Khi: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=z=1\end{cases}}\Rightarrow M=17\)
\(Min_M=17\Leftrightarrow a=2;b=1;c=1\)
T
4 tháng 2 2020
ミ★๖ۣۜBăηɠ ๖ۣۜBăηɠ ★彡 chém bài khó nhất rồi nên em xin mạn phép chém bài dễ ạ.
2/\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2}{x\left(x+y+z\right)+yz}=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\ge\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)}{\frac{\left(2x+y+z\right)^2}{4}}=\Sigma_{cyc}\frac{4\left(y+z\right)}{2x+y+z}=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(y+z-2x\right)}{2x+y+z}+6\)
\(=\Sigma_{cyc}\left(\frac{2\left(x+y+z\right)\left(y+z-2x\right)}{2x+y+z}-\frac{3}{2}\left(y+z-2x\right)\right)+6\)
\(=\Sigma_{cyc}\frac{\left(y+z-2x\right)^2}{2\left(2x+y+z\right)}+6\ge6\)
MN
1
18 tháng 9 2016
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{1}{2ab}\)
Ta có : \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=4\)
\(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge4+2=6\)
11 tháng 12 2016
áp dụng Cô-si ta có:
\(a^5+\frac{1}{a}+1+1\ge4\sqrt[4]{a^5.\frac{1}{a}.1.1}=4a\)
\(b^5+\frac{1}{b}+1+1\ge4\sqrt[4]{b^5.\frac{1}{b}.1.1}=4b\)
\(c^5+\frac{1}{c}+1+1\ge4\sqrt[4]{c^5.\frac{1}{c}.1.1}=4c\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5+1+1+1+1+1+1\ge4a+4b+4c\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5+c^5\ge4\left(a+b+c\right)-6=4.3-6=6\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
T
16 tháng 11 2018
Vẫn áp dụng cô si nhưng lần này sẽ khác cách của Thành:
Áp dụng BĐT Côsi,ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Suy ra \(VT\ge a^5+b^5+c^5+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Suy ra \(VT+1+1\ge a^5+b^5+c^5+1+1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)
Áp dụng Côsi,ta có: \(a^5+b^5+c^5+1+1\ge5\sqrt[5]{1a^5b^5c^51}=5abc\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(VT+1+1\ge5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(VT\ge5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\).Ta cần chứng minh \(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\ge6\Leftrightarrow5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\ge8\) (3)
Thật vậy ta có: \(\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{a+b+c}{3}\).Áp dụng vào,ta có:
\(abc\ge\frac{a+b+c}{3}=1\) (do a + b + c = 3).
Thay vào (3),ta có:\(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\ge8\) suy ra \(5abc+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}-2\ge6\) suy ra đpcm
16 tháng 12 2018
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{1}{2ab}+\frac{4}{a^2+2ab+b^2}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=\frac{2}{1}+\frac{4}{1}=6\)
TK
2
25 tháng 9 2020
Áp dụng bđt ngược chiều là ra
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{2ab+a^2+b^2}+\frac{1}{2\left(\frac{a+b}{2}\right)^2}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
TB
22 tháng 4 2019
\(A=\frac{2ab}{4ab}+\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
áp dụng bđt AM-GM , a,b> 0
\(\Rightarrow A\ge2ab\left(\frac{4}{4ab+a^2+4b^2}\right)+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{8ab}{1}+\frac{1}{8ab}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
CM
24 tháng 1 2019
a) Biến đổi vế trái:
b) Biến đổi vế trái:
( v ì a + b > 0 n ê n | a + b | = a + b ; b 2 > 0 )
Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a\ge b\)
Nếu \(a\ge b>\frac{1}{2}\Rightarrow a^2\ge b^2>\frac{1}{4}\Rightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\)(loại)
Nếu \(\frac{1}{2}>a\ge b\Rightarrow\frac{1}{4}>a^2\ge b^2\Rightarrow a^2+b^2< \frac{1}{2}\)(loại)
Vậy chỉ còn trường hợp: \(a\ge\frac{1}{2}\ge b\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{1}{2}\ge0\\b-\frac{1}{2}\le0\end{cases}}\)
Nhân vế theo vế ta được
\(\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(b-\frac{1}{2}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow ab-\frac{a+b}{2}+\frac{1}{4}\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2ab+\frac{1}{2}\)
Từ bài toán ta có
\(\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{a+b}{ab}\)
\(\ge\frac{1}{1-2ab}+\frac{2ab+\frac{1}{2}}{ab}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{2ab}+2\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{1-2ab+2ab}+2=4+2=6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
ket qua la 213/4