K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2021

Bạn cần viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.

12 tháng 7 2020

thx ban

21 tháng 4 2021

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 12

31 tháng 3 2023

Xét tổng

  Nếu cả 7 số đều lẻ thì tổng của chúng là số lẻ và do đó khác 0

Suy ra có ít nhất một trong 7 số  là số chẵn

  là số chẵn

NV
17 tháng 8 2021

\(a^2+b^2=a^3+b^3=a^4+b^4\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Rightarrow a^6+b^6+2a^3b^3=a^6+b^6+a^2b^4+a^4b^2\)

\(\Rightarrow2a^3b^3=a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow2ab=a^2+b^2\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=b\)

Thế vào \(a^2+b^2=a^3+b^3\)

\(\Rightarrow a^2+a^2=a^3+a^3\Rightarrow2a^3=2a^2\Rightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow a+b=2\)

DT
12 tháng 6 2023

Sửa đề : \(\dfrac{a^2}{a^2+b}+\dfrac{b^2}{b^2+a}\le1\\ \) (*)

\(< =>\dfrac{a^2\left(b^2+a\right)+b^2\left(a^2+b\right)}{\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)}\le1\\ < =>a^2b^2+a^3+b^2a^2+b^3\le\left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)\) ( Nhân cả 2 vế cho `(a^{2}+b)(b^{2}+a)>0` )

\(< =>a^3+b^3+2a^2b^2\le a^2b^2+b^3+a^3+ab\\ < =>a^2b^2\le ab\\ < =>ab\le1\) ( Chia 2 vế cho `ab>0` )

Do a,b >0 

Nên áp dụng BDT Cô Si :

\(2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}< =>\sqrt{ab}\le1\\ < =>ab\le1\)

Do đó (*) luôn đúng

Vậy ta chứng minh đc bài toán

Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b>0,a+b=2< =>a=b=1\)

22 tháng 7 2023

a Sửa đề : Chứng minh \(\dfrac{a^2}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2}{b^2+a}\)\(\le\) 1 ( Đề thi vào 10 Hà Nội).

Bất đẳng thức trên tương đương : 

\(\dfrac{a^2+b-b}{a^2+b}\)+\(\dfrac{b^2+a-a}{b^2+a}\)\(\le\)1

\(\Leftrightarrow\) 1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\)+ 1 - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)1

\(\Leftrightarrow\)1 - \(\dfrac{b}{a^2+b}\) - \(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)0

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\le\)-1

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{a}{b^2+a}\)\(\dfrac{b}{a^2+b}\)\(\ge\)1

Xét VT = \(\dfrac{a^2}{ab^2+a^2}\)\(\dfrac{b^2}{a^2b+b^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab^2+a^2+a^2b+b^2}\) (Cauchy - Schwarz)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(b+a\right)+a^2+b^2}\)

\(\ge\)\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2ab+a^2+b^2}\)

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)= 1

Vậy BĐT được chứng minh

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = 1

NV
13 tháng 8 2021

Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

10 tháng 2 2019

12 tháng 10 2019

Đáp án D.

7 tháng 11 2017

17 tháng 7 2018