Cho a thuộc Z,Chứng minh rằng:
\(a^5-a\)chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PD
1
DX
19 tháng 7 2023
Ta có:\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5. Mà 3 số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 2.3.5=30 (*)
Vì (a-1)a(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Mà (2;3)=1 nên 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 2.3.5=30 (**)
Từ (*)và(**) => \(a^5-5\) chia hết cho 30(đpcm)
NM
1
30 tháng 6 2017
Có \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\text{a}\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Có a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là 5 số tự nhiên liên tiếp => có 1 số chia hết cho 5, 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 2 => chia hết cho 30
a(a-1)(a+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp => có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3 => 5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30
vậy tổng của chúng chia hết cho 30
=> đpcm
DL
3
DT
30 tháng 12 2017
Ta có:
\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (n\(\in Z\))
nên \(A⋮2.3=6\) (1)Do (2,3)=1
Ta cũng có:
\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Do \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow A⋮5\) (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow A⋮6.5=30\) Do (6,5)=1
30 tháng 12 2017
\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)
\(=n\left(n^2+1\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n^2+5-4\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)(tích 3 số liên tiếp)
\(=n\left(n^2-4\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\left(đpcm\right)\)(tích 5 số liên tiếp và 1 tích có thừa số 5)
\(\Rightarrow A⋮30\)
P
3
BD
2 tháng 8 2017
Ta có: n5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n4 – n2 + n2 – 1)
= n.[(n4 – n2) + (n2 – 1)]
= n.[n2(n2 – 1) + (n2 – 1)]
= n.(n2 – 1).(n2 + 1)
= n.(n2 – n + n – 1)(n2 + 1)
= n.[(n2 – n) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.(n – 1).(n + 1).(n2 + 1)
Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n5 – n chia hết cho 3 (1)
Mặt khác: n5 = n4+1 có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n
=> n5 – n có chữ số tận cùng bằng 0.
=> n5 – n chia hết cho 10 (2)
Từ (1), (2) suy ra: n5 – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n5 – n chia hết cho 30 (đpcm).
21 tháng 9 2017
Ta có: n5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n4 – n2 + n2 – 1)
= n.[(n4 – n2) + (n2 – 1)]
= n.[n2(n2 – 1) + (n2 – 1)]
= n.(n2 – 1).(n2 + 1)
= n.(n2 – n + n – 1)(n2 + 1)
= n.[(n2 – n) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.(n – 1).(n + 1).(n2 + 1)
Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n5 – n chia hết cho 3 (1)
Mặt khác: n5 = n4+1 có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n
=> n5 – n có chữ số tận cùng bằng 0.
=> n5 – n chia hết cho 10 (2)
Từ (1), (2) suy ra: n5 – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n5 – n chia hết cho 30 (đpcm).
HM
1
8 tháng 3 2015
5(a+2007)3 + 15 (a+ 2007)2 + 10(a+2007)
=5(a+2007)3 + 5 (a+ 2007)2 + 10(a+ 2007)2 + 10(a+2007) = 5(a+2007)2 [ (a+ 2007) +1] +10(a+2007) [(a+2007) + 1]
=5(a+2007)2 (a+ 2008) +10(a+2007)(a+2008) = 5(a+2007)(a+2008) (a+2007 +2) = 5(a+2007)(a+2008) (a+2009)
nhận xét : tích trên chia hết cho 5
và a+2007; a+2008 ; a+2009 là các số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 6
=> 5(a+2007)(a+2008) (a+2009) chia hết cho BCNN(5;6) = 30 => đpcm
5 tháng 4 2017
1)
a)251-1
=(23)17-1\(⋮\)23-1=7
Vậy 251-1\(⋮\)7
b)270+370
=(22)35+(32)35\(⋮\)22+32=13
Vậy 270+370\(⋮\)13
c)1719+1917
=(BS18-1)19+(BS18+1)17
=BS18-1+BS18+1
=BS18\(⋮\)18
d)3663-1\(⋮\)35\(⋮\)7
Vậy 3663-1\(⋮\)7
3663-1
=3663+1-2
=BS37-2\(⋮̸\)37
Vậy 3663-1\(⋮̸\)37
e)24n-1
=(24)n-1\(⋮\)24-1=15
Vậy 24n-1\(⋮\)15
HN
1
27 tháng 6 2023
A=n^5-n-5n
n^5-n chia hết cho 5 do 5 là số nguyên tố
-5n chia hết cho 5
=>A chia hết cho 5
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Trước hết, \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 (1)
Lại có \(a^5=a^{4.1}.a\)
TH1 : a chẵn, coi chữ số tận cùng của a là n \(\Rightarrow a^5=a^{4.1}.a=\left(...6\right).n=\left(...n\right)\)(Vì 6 nhân với chữ số chẵn nào cũng có tận cùng là chữ số đó )
TH2 : a lẻ, coi chữ số tận cùng của a là m \(\Rightarrow a^5=a^{4.1}.a=\left(...1\right).m=\left(...m\right)\)
Do đó \(a^5\)và \(a\)luôn có cùng chữ số tận cùng
\(\Rightarrow a^5-a\)chia hết cho 10 (2)
Từ (1)(2)\(\Rightarrow a^5-a\in BC\left(3;10\right)=B\left(30\right)\) ( Vì ƯCLN(3;10)=1 )
Vậy ...