Với mọi số tự nhiên \(n>1\) giải thích tại sao \(\dfrac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2023
\(1-\dfrac{3}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+2\right)-3}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1.5}{2.4}.\dfrac{2.6}{3.5}.\dfrac{3.7}{4.6}...\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)
\(=\dfrac{1.2.3...\left(n-1\right)}{2.3.4...n}.\dfrac{5.6.7...\left(n+3\right)}{4.5.6...\left(n+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{n}.\dfrac{n+3}{4}=\dfrac{n+3}{4n}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4n}>\dfrac{1}{4}\) (đpcm)
9 tháng 5 2022
$\frac{1.3.5...(2n-1)}{(n+1)(n+2)...(n+n)}=\frac{1}{2^n}(*)$
Với $n=1$ thì $(*)\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $(*)$ đúng với $n=1$
Giả sử với $n=k$,$ k\in \mathbb{N^*}$ thì $(*)$ đúng, tức là:
$\frac{1.3.5...(2k-1)}{(k+1)(k+2)...(k+k)}=\frac{1}{2^k}$
Ta cần chứng minh với $n=k+1$ thì $(*)$ đúng, tức là:
$\frac{1.3.5...(2k+1)}{(k+2)(k+3)...(2k+2)}=\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^k}.\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1.3.5...(2k+1)}{(k+2)(k+3)...(2k+2)}=\frac{1.3.5...(2k-1)}{2(k+1)(k+2)...(k+k)}$
$\Leftrightarrow \frac{1.3.5...(2k-1)2k(2k+1)}{(k+2)(k+3)...2k(2k+1)(2k+2)}=\frac{1.3.5...(2k-1)}{2(k+1)(k+2)...2k}$
$\Leftrightarrow \frac{2k(2k+1)}{2k(2k+1)(2k+2)}=\frac{1}{2(k+1)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(2k+2)}=\frac{1}{2(k+1)}$
Do đó với $n=k+1$ thì $(*)$ đúng
$\Rightarrow \frac{1.3.5...(2n-1)}{(n+1)(n+2)...(n+n)}=\frac{1}{2^n}$
HT
9 tháng 2 2021
a/ \(\lim\limits\dfrac{1+\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}{1+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}=\lim\limits\dfrac{\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}-1}{\dfrac{1}{3}-1}}{\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}-1}{\dfrac{1}{2}-1}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}=3\)
b/ \(\lim\limits\left(n^3+n\sqrt{n}-5\right)=+\infty-5=+\infty\)
26 tháng 8 2017
Với mọi k thuộc N và k > 2 thì ta có :
\(1-\frac{1}{1+2+....+k}=1-\frac{1}{\frac{k\left(k+1\right)}{2}}=1-\frac{2}{k\left(k+1\right)}=\frac{k^2+k-2}{k\left(k+1\right)}=\frac{\left(k+2\right)\left(k-1\right)}{k\left(k+1\right)}\)
Áp dụng vào A ta được :
\(A=\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3+4}\right)...\left(1-\frac{1}{1+2+....+n}\right)\)
\(=\frac{1.4}{2.3}.\frac{2.5}{3.4}.\frac{3.6}{4.5}....\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{\left[1.2.3....\left(n-1\right)\right]\left[4.5.6.....\left(n+2\right)\right]}{\left(2.3.4......n\right)\left[3.4.5.....\left(n+1\right)\right]}\)
\(=\frac{n+2}{n.3}=\frac{n+2}{3n}\)
Ta có: \(\dfrac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\dfrac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}-\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)