giúp mình với: chứng minh n3-n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
2
IM
15 tháng 9 2016
Vì n lẻ
=> n = 2k + 1 ( với k laf số tự nhiên )
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)^3-\left(2k+1\right)\)
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]\)
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\)
Vì 2k ; 2k + 1 ; 2k + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp .
\(\Rightarrow\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\) chia hết cho 3
\(\Rightarrow n^3-n⋮3\)
Mặt khác : \(n^3-n=\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\)
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)2\left(k+1\right)2k\)
\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)4\left(k+1\right)k\)
Xét thấy k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp .
=> k(k+1) chia hết cho 2
\(\Rightarrow\left(2k+1\right)4\left(k+1\right)k⋮8\)
\(\Rightarrow n^3-n⋮8\)
Mà (3;8) = 1
=> n3 - n chia hết cho 24 ( đpcm )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
a.
Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8
b.
n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)
\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6
\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48
CM
7 tháng 1 2018
a) Gợi ý: phân tích 50 n + 2 - 50 n + 1 = 245.10. 50 n .
b) Gợi ý: phân tích n 3 - n = n(n - 1)(n +1).
S
2
KV
15 tháng 10 2018
Ta có
A =n[n2(n2 -7)2 -36]= n[(n3 -7n2)-36]
= n(n3 -7n2 -6)( n3 -7n2 +6)
Mà n3 -7n2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n3 -7n2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó:
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp
+Tồn tại một bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5
+Tồn tại một bội của 7 ⇒ A chia hết cho 7
+Tồn tại hai bội của 3 ⇒ A chia hết cho 9
+Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho
5.7.9.16 =5040.
+ Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau:
Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ∈ N hoặc n ∈ Z).
HM
1 tháng 6 2021
n^3-n^2+2n+7=(n^3+n)-(n^2+1)+n+8=n(n^2+1)-(n^2+1)+n+8. Để n(n^2+1)-(n^2+1)+n+8 chia hết cho n^2+1=>8+n chia hết cho n^2+1
Vậy n=2k hoặc 2k+1
Xét TH:n=2k
=>8+n=8+2k(1)
*n^2+1=(2k)^2+1=4k^2+1(2)
Từ (1) và (2) ta có:8+2k chia hết cho 2 mà 4k^2+1 không chia hết cho 2 nên n ko bằng 2k
Xét TH:n=2k+1=>8+n=8+2k+1(3)
*n^2+1=(2k+1)^2+1
n^2+1=(4k^2+1)+(2k+1)(4)
Từ 3 và 4 : muốn 8+n chia hết n^2 +1 thì 8 chia hết cho 4k^2+1
=>4k^2+1 thuộc{-1;+1;-2;+2;-4;+4;-8;8}
các bạn làm từng TH thì sẽ ra k=0 và n=1 và các bạn thế vào đề bài lai để kiểm tra kết quả
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 11 2021
Lời giải:
Theo công thức hằng đẳng thức thì:
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})\vdots a-b$ (đpcm)
Với $n$ lẻ:
$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+....-ab^{n-2}+b^{n-1})\vdots a+b$ (đpcm)
NL
0
XU
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2021
Đặt \(A=n^4-10n^2+9\)
\(n^4-n^2-9\left(n^2-1\right)=n.n\left(n-1\right)\left(n+1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 3
\(\Rightarrow A⋮3\)
Lại có: \(A=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
Do n lẻ, đặt \(n=2k+1\)
\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)
\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
Do \(k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 8
\(\Rightarrow A⋮\left(16.8\right)\Rightarrow A⋮128\)
Mà 3 và 128 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮\left(128.3\right)\Rightarrow A⋮384\)
AM
1
10 tháng 12 2015
Vì n là số lẽ nên ta có : \(n=2k+1\left(k\in N\right)\). Thay vào :
\(\left(2k+1\right)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k\left(k+1\right)\)
4 chia hết cho 4 ; \(k\left(k+1\right)\)là 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 \(\Rightarrow\left(2k+1\right)^2-1\) chia hết cho 8 (vì 4.2=8).
Vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n là số lẽ thì \(n^2-1\) chia hết cho 8.
NV
1
30 tháng 10 2021
Ta có vì n\(\in\)N
+) TH1 :n là số lẻ=>n+13\(⋮\)2=>n.(n+13)\(⋮\)2
+)TH2 :n là số chẵn =>n\(⋮\)2=>n.(n+13)\(⋮\)2
vậy n.(n+13)\(⋮\)2 với \(\forall\)n\(\in\)N
\(n^3-n\)= \(n\left(n^2-1\right)\)= \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Do (n-1)n(n+1) la h cua 3 so tự nhiên liên tiếp nên chia het cho 2 va 3
mà (2,3) =1 nen h chia het cho 6
Lại có n lẻ nên tích sẽ có 1 số chia hết cho 4
=> (n-1)n(n+1) chia hết cho 4*6 = 24
Hay \(n^3-1\)chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ
Đúng thì
Theo mình thì khi ta có a chia hết c, b chia hết cho c và (a,b)=1 thì ta mới có thể kết luận là ab chia hết cho c.
Ví dụ: 12 chia hết cho 4, 12 chia hết cho 6 nhưng 12 không chia hết cho 24.
Mình chỉ biết như thế còn không biết cách giải mong các bạn giúp đỡ.