Question

[ChiBônBôn]

1)CMR nếu \(\frac{x^2-yz}{x\left(1-yz\right)}\)= \(\frac{y^2-xz}{y\left(1-xz\right)}\)với x\(\ne\)y, yz\(\ne\)1, xz\(\ne\)1, xyz\(\ne\)0 thì x+y+z= \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)

2)Cho a, b,c là 3 số thực thỏa mãn : a+b+c= \(\sqrt{a}\) + \(\sqrt{b}\) +\(\sqrt{c}\)  =2 . CMR:           \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}\)+ \(\frac{\sqrt{b}}{1+b}\)+\(\frac{\sqrt{c}}{1+c}\)= \(\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

3) Tìm số cạnh của 1 đa giác biết số cạnh cần tìm lớn hơn 10 và đa giác đó có ít hơn 60 đường chéo.
 

Answer 1

[Phan Thanh Tịnh]

1)Từ gt đề bài,ta có : (x² - yz).y.(1 - xz) = (y² - xz).x.(1 - yz)

=> 0 = VT - VP = (x²y - x³yz - y²z + xy²z²) - (xy² - xy³z - x²z + x²yz²) = xy(x - y) - xyz(x² - y²) + z(x² - y²) + xyz²(y - x)

        = (x - y)[xy - xyz(x + y) + z(x + y) - xyz²] = (x - y)[xy + xz + yz - xyz(x + y + z)]

Vì\(x\ne y\Rightarrow x-y\ne0\)nên xy + xz + yz - xyz(x + y + z) = 0 => xy + xz + yz = xyz(x + y + z)

Vì\(xyz\ne0\)nên chia 2 vế cho xyz,ta có :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)= x + y + z (đpcm)

Bạn ko hiểu chỗ nào thì hỏi mình nhé!

Answer 2

[Bùi Thị Vân]

Từ: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}=1.\)vì a + b + c = 2
Từ đó: \(a+1=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right).\)
Tương tự: \(b+1=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\), \(c+1=\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right).\)
Từ đó: \(\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\frac{2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}.\)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}+\frac{\sqrt{c}}{c+1}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{c}}{\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)+\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}\).
Ta có: VP = VT nên có đpcm.