Cho tam giác AB, các đường cao tương ứng với a, b, c theo thứ tự là ha, hb, hc
Chứng minh rắng : nếu \(\frac{1}{h^2a}=\frac{1}{h^2b}+\frac{1}{h^2c}\)
thì tam giác ABC là tam giác vuông
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TN
thanh niên nghiêm túc
11 tháng 9 2016
Xét tam giác ABC có: AB = c, BC = a, AC = b.Từ A dựng đường thẳng d // BC. Lấy B' đối xứng
với B qua d.Ta nhận thấy: BB' = 2.h . Ta có:
B
B
′
2
+
B
C
2
=
B
′
C
2
BB′2+BC2=B′C2 \leq
(
B
′
A
+
A
C
)
2
(B′A+AC)2 . Suy ra:
4.
h
a
2
4.ha2 \leq
(
c
+
b
)
2
−
a
2
(c+b)2−a2 (1)
Hoàn toàn tương tự:
4.
h
b
2
4.hb2 \leq
(
c
+
a
)
2
−
b
2
(c+a)2−b2 (2)
4.
h
c
2
4.hc2 \leq
(
a
+
b
)
2
−
c
2
(a+b)2−c2 (3)
Từ (1)(2)(3) ta có:
(
c
+
b
)
2
−
a
2
+
(
c
+
a
)
2
−
b
2
+
(
a
+
b
)
2
−
c
2
(c+b)2−a2+(c+a)2−b2+(a+b)2−c2 \geq
4.
(
h
a
2
+
h
b
2
+
h
c
2
)
4.(ha2+hb2+hc2)
\Rightarrow
(
a
+
b
+
c
)
2
(a+b+c)2 \geq
4.
(
h
a
2
+
h
b
2
+
h
c
2
)
4.(ha2+hb2+hc2) (dpcm)
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
8 tháng 1 2018
Vẽ tam giác ABC với các chiều cao tương ứng là AH, BK, CG.
Ta có \(\Delta AHC\sim\Delta BKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{BK}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{BK}\right)^2=\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AC^2}{BC^2}\)
Tương tự \(\Delta AHB\sim\Delta CGB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{CG}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\left(\frac{AH}{CG}\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}\)
Ta có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{BK^2}+\frac{1}{CG^2}\Leftrightarrow\frac{AH^2}{BK^2}+\frac{AH^2}{CG^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=1\Leftrightarrow\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=1\)
\(\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Leftrightarrow\) tam giác ABC vuông tại A.
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
11 tháng 12 2017
Ta có : \(\frac{HA'}{AA'}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}};\frac{HB'}{AB'}=\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}};\frac{HC'}{AC'}=\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\)
nên \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{HBC}+S_{HAB}+S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Vậy \(\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=1\)
R
17 tháng 12 2021
TK
a) Xét ΔABC có
D là trung điểm của AB(gt)
E là trung điểm của AC(gt)
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇔DE//BC và DE=BC2DE=BC2(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà BF=FC=BC2BF=FC=BC2(F là trung điểm của BC)
nên DE=BF=FC
Xét tứ giác DEFB có DE//BF(DE//BC, F∈BC) và DE=BF(cmt)
VT
15 tháng 10 2019
a) \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90o\) => tứ giác BFEC nội tiếp => \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC;}\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)=> \(\Delta AEF~\Delta ABC\)
SAEF = \(\frac{1}{2}AE.AF.sinA\); SABC = \(\frac{1}{2}AB.AC.sinA\)=>\(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AE.AF}{AB.AC}\)=cos2A (cosA = \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\))
b) làm tương tự câu a ta được SBFD=cos2B.SABC; SCED=cos2C.SABC
=> SDEF =SABC-SAEF-SBFD-SCED = (1-cos2A-cos2B-cos2C)SABC