K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 9 2016

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac. 
(1/a + 1/b + 1/c)² = 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(1/ab + 1/bc + 1/ac) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(bcac + abac + abbc)/(a²b²c²) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2abc(a + b + c)/(a²b²c²) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2 = 4 
(vi` abc(a + b + c) = a² b² c²) 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² = 2 !!

4 tháng 1 2016

 mk chẳng biết  nguyen hoang phi hung ak

NV
5 tháng 4 2021

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\le1\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+12\le2\left(ab+bc+ca\right)+9\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)

Hiển nhiên đúng do: \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)

5 tháng 4 2021

Vì abc=1 , ta đặt \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)

Điều phải chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{y}{2y+x}+\dfrac{z}{2z+y}+\dfrac{x}{2x+z}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y}{2y+x}+\dfrac{2z}{2z+y}+\dfrac{2x}{2x+z}\le2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+y}+\dfrac{z}{2x+z}\ge1\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

\(\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+z}=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

=> bài toán được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 <=>a=b=c=1

15 tháng 4 2018

1a)Xét a2 + 5 - 4a =a2 - 4a + 4+1=(a - 2)2+1\(\ge\)1 hay (a -2)+ 1 > 0 

\(\Rightarrow\)Đpcm

  b)Xét 3(a+ b+ c2) -(a + b +c)=3a+ 3b+ 3c- a- b- c- 2ab - 2ac - 2bc

                                                  =2a+ 2b+ 2c - 2ab - 2ac - 2bc

                                                  =(a - b)+ (a - c)+ (b - c)2\(\ge\)0 (với mọi a,b,c)

\(\Rightarrow\)Đpcm

2)Xét A=\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+c+b\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)

         áp dụng cô-sy

\(\Rightarrow\)A\(\ge\)9

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)

2 tháng 1 2018

????????????????????????????

2 tháng 1 2018

Đề có sai không cậu ơi??

27 tháng 12 2017

Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c-a}{a\left(a+b+c\right)}+\frac{c+b}{bc}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{a\left(a+b+c\right)}+\frac{b+c}{bc}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(\frac{1}{a\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(\frac{bc+a\left(a+b+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)\(\Rightarrow\left(b+c\right)\left(bc+a^2+ab+ac\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(b+c\right)\left[b\left(c+a\right)+a\left(c+a\right)\right]=0\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

Suy ra đpcm