Cho a+b+c=3
CMR: \(a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
1
HP
26 tháng 8 2021
\(a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-\left(a^3+b^3+c^3\right)+3-\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1+b^4-b^3-b+1+c^4-c^3-c+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)^2\left(b^2+b+1\right)+\left(c-1\right)^2\left(c^2+c+1\right)\ge0\) đúng với mọi a, b, c.
\(\Rightarrowđpcm\)
26 tháng 8 2021
mong giúp mk bài này nữa vs ạ
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-ab-8-va-bge3-cm-27a210b3-945.1638861610920
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
BD
4
T
22 tháng 11 2019
Một kiểu biến đổi tương đương khác.
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)
\(VT-VP=\frac{\left(7a^2+8ab-ac+7b^2-bc-2c^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4}\ge0\)
Ta có qed./.
P/s: Bài giải trong 3 dòng:D
T
22 tháng 11 2019
Làm sao để biến đổi được như mình? Không hề khó! Ta có:
\(f\left(a;b;c\right)=f_1\left(a-c\right)\left(b-c\right)+f_2\left(a-b\right)^2\) (1)
\(=f_1\left(a-c\right)\left(b-c\right)+f_2\left(a+b-2c+2\left(c-b\right)\right)^2\)
\(=f_1\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2+4f_2\left(a+b-2c\right)\left(c-b\right)+4f_2\left(c-b\right)^2\)
\(=f_1\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2+4f_2\left(c-b\right)\left(a+b-2c+c-b\right)\)
\(=-\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(f\left(a;b;c\right)=\frac{f_2\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)^2+f_2.f_1.\left(a+b-2c\right)^2}{4f_2-f_1+f_1}\)
\(=\frac{\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)^2+f_1\left(a+b-2c\right)^2}{4}\) (3)
Như vậy, ta chỉ cần tìm được cách phân tích (1) thì sẽ tìm được cách phân tích (3).
Trở lại bài trên: \(VT-VP=2\left(a^4+b^4+c^4\right)-a^3\left(b+c\right)-b^3\left(c+a\right)-c^3\left(a+b\right)\)
\(=\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\)
Từ đó dẫn đến cách phân tích bên trên.
ND
2
30 tháng 4 2020
Ta có BĐT sau:
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\left(true\right)\)
Khi đó tương tự ta có nốt \(\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}\ge\frac{b+c}{2};\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\frac{c+a}{2}\)
Khi đó \(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
Ta dễ chứng minh được
\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}=\frac{b^4}{a^3+b^3}+\frac{c^4}{b^3+c^3}+\frac{a^4}{a^3+c^3}\)( trừ cái là xong )
Khi đó \(LHS\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c
FS
5
T
20 tháng 8 2019
Làm luôn:v
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0\)*Đúng*
P/s: kiểm tra giúp xem em có tính sai chỗ nào ko nha! Dạo hay em hay nhầm lẫn lắm:(
23 tháng 9 2018
c) Áp dụng BĐT Cauchy-schwars ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+b\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
đpcm
22 tháng 4 2020
a) \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
<=> \(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
Ta có: \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{a^2+b^2}{2}.\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\) với mọi a, b
Vậy \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
b) \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)(1)
<=> \(2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge ab^3+ac^3+ba^3+bc^3+ca^3+cb^3\)
<=> \(\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ac\left(a^2+c^2\right)\) đúng áp dụng câu a
Vậy (1) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c.
à thôi trong CHTT có r