Cho x,y>0. CMR: \(\left(x+y\right)^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\right)\ge10\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 4 2023
\(VT=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2+y^2}{z^2}+z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\)
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}\cdot\dfrac{x^2}{y^2}}=2\)
=>\(VT>=5+\left(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{x^2}{z^2}\cdot\dfrac{z^2}{16x^2}}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}>=\dfrac{1}{2}\)
và \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}>=\dfrac{2}{xy}>=\dfrac{2}{\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2}=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
=>\(\dfrac{15}{16}z^2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)>=\dfrac{15}{16}z^2\cdot\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{15}{2}\left(\dfrac{z}{x+y}\right)^2=\dfrac{15}{2}\)
=>VT>=5+1/2+1/2+15/2=27/2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 3 2021
Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!
24 tháng 11 2021
\(1,\) Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\text{ và }\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y\)
\(A=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\\ A\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2+17=\dfrac{25}{2}+17=\dfrac{59}{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\dfrac{1}{a}=b+\dfrac{1}{b}\\a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Đặt }A=\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\left(\dfrac{xy^2z}{xz}+\dfrac{xyz^2}{xy}+\dfrac{x^2yz}{yz}\right)\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+6\)
Áp dụng Cosi: \(\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}\ge2y^2\)
CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2z^2\\\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2x^2\end{matrix}\right.\)
Cộng VTV \(\Leftrightarrow A^2\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+6=12\\ \Leftrightarrow A\ge2\sqrt{3}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 12 2018
\(VT=\dfrac{\left(\dfrac{1}{z}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{y}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Dâu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 11 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si với \(x; \frac{1}{x}\) là hai số dương:
\(x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2\geq 4\)
Tương tự, \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\geq 4\)
\(\Rightarrow \left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\geq 8\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x}\\ y=\frac{1}{y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
P.s: Có thể thấy điều kiện $x+y=2$ là dư thừa.
5 tháng 1 2019
Hem thừa .-.
\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2}{2}=8\)
8 tháng 1 2021
Đặt \(\dfrac{x}{z}=a;\dfrac{y}{z}=b\).
Theo gt ta có \(a+b\le1\).
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^2+b^2+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{21}{2}\).
Theo bđt AM - GM: \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge2;a^2+\dfrac{1}{16}a^2\ge\dfrac{1}{2};b^2+\dfrac{1}{16}b^2\ge\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge\dfrac{15}{2}\).
Cộng vế với vế của các bđt trên lại ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 12 2020
\(VT=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(VT\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
\(P=\left(x^2+y^2+2xy\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2}\)
\(P=\left(x^2+y^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2xy\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+1+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)
\(P\ge2xy.\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2\left(x^2+y^2\right)}{xy}+1+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)
\(P\ge\dfrac{x^2+y^2}{2xy}+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{x^2+y^2}{xy}\right)+5\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{2xy\left(x^2+y^2\right)}{2xy\left(x^2+y^2\right)}}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{2xy}{xy}+5=10\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)